Nos problemas 23-30, ache a solução para o problema de valor inicial.
y^prime prime+9 y=27 ; y(0)=4, y^prime(0)=6

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 9y = 27, y(0)=4, y'(0)=6
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método da soma da solução geral da homogênea mais uma particular, e então ajustar as constantes pelos valores iniciais.

Passo 2

Primeiro obtemos a solução geral da equação homogênea associada:
yh'' + 9yh = 0
A equação característica é
r^2 + 9 = 0 Longrightarrow r = pm 3i
Logo
yh(t) = C1cos(3t) + C2sin(3t)

Passo 3

Em seguida buscamos uma solução particular yp. Como o termo independente é constante, tentamos
yp(t) = A,
onde A é constante. Então yp'' = 0 e a EDO dá
0 + 9A = 27 Longrightarrow A = 3
Assim
yp(t) = 3

Passo 4

A solução geral da equação completa é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1cos(3t) + C2sin(3t) + 3

Passo 5

Usamos as condições iniciais para determinar C1 e C2. Primeiro,
y(0) = C1cos(0) + C2sin(0) + 3 = C1 + 3 = 4 Longrightarrow C1 = 1
Depois calculamos a derivada:
y'(t) = -3C1sin(3t) + 3C2cos(3t)
Em t=0:
y'(0) = -3cdot1cdot0 + 3C2cdot1 = 3C2 = 6 Longrightarrow C2 = 2

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(t) = cos(3t) + 2sin(3t) + 3

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