4-) Calcular o pH de uma solução preparada:
(a) dissolvendo-se 43,0 \mathrm{~g} de ácido lático em água e diluindo-se para 500 mL .
(b) diluindo-se 25,0 \mathrm{~mL} da solução em (a) para 250 mL .
(c) diluindo-se 10,0 \mathrm{~mL} da solução em (b) para 1,00 \mathrm{~L}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o pH de uma solução de ácido lático em três situações encadeadas:
(a) solução preparada dissolvendo 43,0\\ \mathrm{g} de ácido lático e diluindo para 500\\ \mathrm{mL};
(b) pegar 25,0\\ \mathrm{mL} da solução (a) e diluir para 250\\ \mathrm{mL};
(c) pegar 10,0\\ \mathrm{mL} da solução (b) e diluir para 1,00\\ \mathrm{L}.
Informações / dados relevantes fornecidos ou necessários (usarei um valor de tabela para ácido lático porque o enunciado não deu K_a):
  • massa de ácido lático em (a): 43,0\\ \mathrm{g}.
  • volumes finais: 500\\ \mathrm{mL}, 250\\ \mathrm{mL}, 1,00\\ \mathrm{L}.
  • massa molar aproximada do ácido lático (ácido 2-hidroxipropanoico, \mathrm{C_3H_6O_3}): \;M = 90,08\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}} (calculei somando os pesos atômicos).
  • pKa típica do ácido lático (tabela): \;pK_a = 3,86. Logo
K_a = 10^{-pK_a} = 10^{-3,86} \approx 1,38\times 10^{-4}.
O objetivo é, para cada caso,:
  • achar a concentração inicial c do ácido (mol·L^{-1}),
  • resolver a dissociação \mathrm{HA} \rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{A^-} para obter [\mathrm{H^+}],
  • calcular \mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H^+}].
A resolução começa no passo seguinte.

Passo 2

Converter a massa em número de mols (caso (a)). Explicando: número de mols n é dado por \;n=\dfrac{\text{massa}}{M}, onde M é a massa molar.
n = \dfrac{43,0\\ \mathrm{g}}{90,08\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}}
Faço a conta:
n \approx 0,4773\\ \mathrm{mol}.
Isso significa que, ao dissolver 43,0\\ \mathrm{g}, temos aproximadamente 0,4773\\ \mathrm{mol} de ácido lático.

Passo 3

Calcular a concentração inicial da solução (a). Explicando: concentração molar c é c=\dfrac{n}{V}, com V em litros.
Volume final em (a): 500\\ \mathrm{mL}=0,500\\ \mathrm{L}.
c_{(a)} = \dfrac{0,4773\\ \mathrm{mol}}{0,500\\ \mathrm{L}} \approx 0,9546\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.

Passo 4

Modelagem da dissociação do ácido fraco e fórmula para [\mathrm{H^+}]. Explicando a teoria passo a passo:
  • Para um ácido fraco monoprotico \mathrm{HA} \rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{A^-}, se a concentração inicial é c e a fração dissociada é x (ou seja, [\mathrm{H^+}]=x), as concentrações no equilíbrio são [\mathrm{HA}]=c-x, [\mathrm{H^+}]=x, [\mathrm{A^-}]=x.
  • A constante de acidez é
K_a = \dfrac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{A^-}]}{[\mathrm{HA}]} = \dfrac{x\cdot x}{c-x} = \dfrac{x^2}{c-x}.
  • Isso leva à equação quadrática para x:
x^2 + K_a x - K_a c = 0.
  • A solução positiva dessa quadrática (a que faz sentido fisicamente) é
x = \dfrac{-K_a + \sqrt{K_a^2 + 4K_a c}}{2}.
Aqui x é [\mathrm{H^+}]. Em prova, às vezes usamos a aproximação x\approx\sqrt{K_a c} quando x\ll c; vou checar a validade dessa aproximação em cada caso e, quando necessário, usar a fórmula exata acima.

Passo 5

Resolver (a) usando a fórmula exata. Dados: c_{(a)}=0,9546\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}} e K_a=1,38\times 10^{-4}.
Calculo do discriminante:
\Delta = K_a^2 + 4K_a c = (1,38\times 10^{-4})^2 + 4(1,38\times 10^{-4})(0,9546).
Faço as contas (mostrando passos numéricos):
K_a^2 \approx 1,9044\times 10^{-8},
4K_a c \approx 4\times 1,38\times 10^{-4}\times 0,9546 \approx 5,272\times 10^{-4},
\Delta \approx 5,27219\times 10^{-4}.
Raiz do discriminante:
\sqrt{\Delta} \approx 0,022961.
Agora x:
x = \dfrac{-1,38\times 10^{-4} + 0,022961}{2} \approx 0,0114115\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
Logo [\mathrm{H^+}]_{(a)}\approx 1,14115\times 10^{-2}\\ \mathrm{M}. Calcular o pH:
\mathrm{pH}_{(a)} = -\log_{10}(1,14115\times 10^{-2}) \approx 1,94.
Também checo a aproximação rápida: \sqrt{K_a c}\approx\sqrt{1,38\times10^{-4}\times0,9546}\approx 1,148\times10^{-2}, muito próximo da solução exata (diferença pequena), então a aproximação seria aceitável aqui — mas já usei a fórmula exata para maior rigor.

Passo 6

Construir a solução (b): diluição de 25,0\\ \mathrm{mL} da solução (a) para 250\\ \mathrm{mL}. Explicando: diluição conserva mols, então a nova concentração é c_{(b)} = c_{(a)}\times \dfrac{25,0}{250} = c_{(a)}\times 0,10.
c_{(b)} = 0,9546\times 0,10 = 0,09546\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
Resolver a quadrática com c=c_{(b)}:
\Delta = K_a^2 + 4K_a c_{(b)} \approx 1,9044\times 10^{-8} + 4\times 1,38\times 10^{-4}\times 0,09546 \approx 5,27219\times 10^{-5}.
\sqrt{\Delta} \approx 0,007265.
x = \dfrac{-1,38\times 10^{-4} + 0,007265}{2} \approx 0,0035629\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
Portanto [\mathrm{H^+}]_{(b)}\approx 3,5629\times 10^{-3}\\ \mathrm{M} e
\mathrm{pH}_{(b)} = -\log_{10}(3,5629\times 10^{-3}) \approx 2,45.
Checagem da aproximação: \sqrt{K_a c_{(b)}}\approx 3,631\times 10^{-3}, diferença pequena (~2%), então tanto a aproximação quanto a solução exata são aceitáveis; usei a exata.

Passo 7

Construir a solução (c): diluir 10,0\\ \mathrm{mL} da solução (b) para 1,00\\ \mathrm{L}. Fator de diluição: 10,0\\ \mathrm{mL} para 1000\\ \mathrm{mL} é 1/100.
c_{\text{(c)}} = c_{(b)}\times \dfrac{10,0}{1000} = 0,09546\times 0,010 = 0,0009546\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
Agora aplico a fórmula exata (aqui a aproximação pode falhar porque a dissociação relativa aumenta quando a concentração é baixa).
\Delta = K_a^2 + 4K_a c_{\text{(c)}} \approx 1,9044\times 10^{-8} + 4\times 1,38\times 10^{-4}\times 9,546\times 10^{-4}
4K_a c_{\text{(c)}} \approx 5,269\times 10^{-7},
\Delta \approx 5,45944\times 10^{-7},
\sqrt{\Delta} \approx 7,387\times 10^{-4}.
x = \dfrac{-1,38\times 10^{-4} + 7,387\times 10^{-4}}{2} \approx 3,00335\times 10^{-4}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
Então [\mathrm{H^+}]_{\text{(c)}}\approx 3,00335\times 10^{-4}\\ \mathrm{M} e
\mathrm{pH}_{\text{(c)}} = -\log_{10}(3,00335\times 10^{-4}) \approx 3,52.
Observação sobre a aproximação: \sqrt{K_a c_{\text{(c)}}} daria aproximadamente 3,631\times 10^{-4}, que difere cerca de 20\% da solução exata; além disso a fração dissociada x/c_{\text{(c)}}\approx 0,315 (cerca de 31,5%) indica que a aproximação x\ll c não é boa aqui. Por isso usei a solução exata da quadrática para (c).

Resposta

(a) \mathrm{pH} \approx 1,94\n(b) \mathrm{pH} \approx 2,45\n(c) \mathrm{pH} \approx 3,52

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