Calcular a tensão induzida (pressão transmitida) por uma carga circular (raio de 5 m ) com 100 \mathrm{kN} / \mathrm{m} 2 a pontos situados a 5 m de profundidade, sob o centro da placa e afastado a 6 m do centro da placa.

Passo 1

O enunciado pede a tensão vertical induzida por uma placa circular de raio a=5 m submetida a uma pressão uniforme q=100 kN/m ^2. Queremos \Delta\sigma_{z} a profundidade z=5 m (1) sob o centro da placa ( r=0) e (2) num ponto afastado r=6 m do centro. O conteúdo envolvido é a solução de Boussinesq para carga distribuída em área circular, que fornece fatores de influência tabulados ou expressões fechadas em termos de m=a/z e n=r/z.

Passo 2

Para o ponto sob o centro ( r=0) a expressão fechada é
\Delta\sigma_{z} = q\;\Bigl[1 - \frac{1}{\bigl(1+(a/z)^{2}\bigr)^{3/2}}\Bigr].
Aqui definimos
m=\frac{a}{z}.

Passo 3

Substituindo a=5 m, z=5 m e q=100 kN/m ^2 temos
m=\frac{5}{5}=1, \quad \bigl(1+m^{2}\bigr)^{3/2}=(1+1)^{3/2}=2^{3/2}=2\sqrt{2}\approx2{,}828,
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\Delta\sigma_{z}(r=0) =100\Bigl[1 - \frac{1}{2{,}828}\Bigr] =100\bigl[1 - 0{,}3536\bigr] =100\times0{,}6464 \approx64{,}6\text{ kPa}.

Passo 4

Para o ponto afastado ( r=6 m) usa-se o fator de influência geral
J(m,n),
que depende de
m=\frac{a}{z}=1 \quad\text{e}\quad n=\frac{r}{z}=\frac{6}{5}=1{,}2.
Em tabelas de Boussinesq para área circular, consulta-se J(1,1{,}2).

Passo 5

Da tabela encontra-se aproximadamente
J(1,1{,}2)\approx0{,}13.
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\Delta\sigma_{z}(r=6) = q\,J =100\times0{,}13 =13\text{ kPa}.

Resposta

Sob o centro da placa ( r=0): \Delta\sigma_{z}\approx64{,}6 kPa
Afastado 6 m do centro ( r=6): \Delta\sigma_{z}\approx13 kPa

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