Calcular a tensão induzida por uma carga pontual de 1500 t a um ponto situado a 5 m de profundidade afastado 5,3 \mathrm{~m} da aplicação da carga.

Passo 1

O enunciado pede a tensão vertical induzida por uma carga pontual P=1500 t aplicada no topo de um meio semi-infinito, num ponto situado a profundidade z=5 m e afastado horizontalmente r=5{,}3 m do ponto de aplicação. O conteúdo utilizado será a solução de Boussinesq para tensão vertical sob carga pontual em solo elástico.

Passo 2

A fórmula de Boussinesq para a tensão vertical \sigma_z devida a uma carga pontual P é
\sigma_z \;=\;\frac{3\,P}{2\pi}\;\frac{z^3}{\bigl(r^2+z^2\bigr)^{5/2}}.

Passo 3

Calculamos primeiro a distância radial total
R \;=\;\sqrt{r^2+z^2} \;=\;\sqrt{(5{,}3)^2 + 5^2} \;=\;\sqrt{28{,}09 + 25} \;=\;7{,}288\;\text{m}.

Passo 4

Substituindo na fórmula, em unidades de tonelada-força por metro quadrado (tf/m ^2):
\sigma_z =\frac{3\cdot1500}{2\pi}\;\frac{5^3}{7{,}288^5} \approx 4{,}34\;\text{tf/m}^2.

Passo 5

Convertendo para kPa (sabendo que 1 tf/m ^2\approx9{,}81 kPa):
\sigma_z \approx 4{,}34\times9{,}81 \approx 42{,}6\;\text{kPa}.

Resposta

A tensão vertical induzida é aproximadamente 4{,}34 tf/m ^2, ou seja 42{,}6 kPa.

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