Pretende-se construir os prédios A e B de plantas retangulares e separados por uma rua de 5 m de largura. O prédio A possuirá largura igual a 20 m , comprimento de 10 m e carregará o terreno uniformemente com 200 kPa ; já o prédio B terá largura de 30 m , comprimento de 5 m e carregamento de 500 kPa . Deseja-se saber qual será a tensão ocasionada no centro do primeiro edifício à profundidade de 10 m .

Passo 1

O enunciado pede a sobrecarga vertical \Delta\sigma_z no ponto situado no centro do edifício A a z=10,m de profundidade, devida aos dois prédios carregando o terreno com pressões uniformes. O prédio A é um retângulo de 20\times10,m carregando q_A=200,kPa e está centrado sobre o ponto. O prédio B é um retângulo de 30\times5,m com q_B=500,kPa, cuja borda mais próxima fica a 5 m de distância do edifício A. Vamos usar superposição e a fórmula de Boussinesq para área retangular, que dá
\Delta\sigma_z \;=\;\frac{q}{2\pi}\Bigl[\varphi(x_2,y_2)+\varphi(x_1,y_1)-\varphi(x_2,y_1)-\varphi(x_1,y_2)\Bigr]
onde
\varphi(x,y)=\arctan\!\Bigl(\frac{x\,y}{z\,\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\Bigr)
e (x_1,y_1), (x_2,y_2) são as distâncias horizontais do ponto até as arestas mais próximas e mais distantes da área carregada, em cada direção.

Passo 2

Cálculo da contribuição de A. Como o ponto está exatamente no centro, as metades do retângulo são
x_1 = 5\text{ m},\quad x_2 = -5\text{ m},\quad y_1 = 10\text{ m},\quad y_2 = -10\text{ m},
e z=10,m. Mas, por simetria, basta calcular
\varphi(5,10) =\arctan\!\Bigl(\frac{5\cdot10}{10\sqrt{5^2+10^2+10^2}}\Bigr) =\arctan\!\Bigl(\tfrac{50}{10\sqrt{225}}\Bigr) =\arctan\!\bigl(\tfrac{50}{150}\bigr) =\arctan\!\bigl(\tfrac13\bigr) \approx0{,}322\text{ rad}.
No caso central simétrico cada termo do somatório é igual, e obtemos
I_A =\frac{1}{2\pi}\bigl[4\,\varphi(5,10)\bigr] =\frac{2}{\pi}\,\varphi(5,10) \approx\frac{2}{\pi}\cdot0{,}322 \approx0{,}205.
Logo
\Delta\sigma_{z,A} = q_A\,I_A =200\text{ kPa}\,\times0{,}205 \approx41{,}0\text{ kPa}.

Passo 3

Cálculo da contribuição de B. Primeiro encontramos as distâncias do ponto ao retângulo B. O prédio A vai de x=-10 até +10; há a rua de 5 m, depois o prédio B de comprimento 5 m (e largura 30 m, centrada em y=0). Assim:
– Distância até a face mais próxima de B:
x_1 = 10 + 5 = 15\text{ m},
– Distância até a face mais distante de B:
x_2 = 15 + 5 = 20\text{ m},
– Em y, o ponto fica no centro, logo as metades são
y_1 = 15\text{ m},\quad y_2 = -15\text{ m}.
Calculamos agora os quatro \varphi:
\varphi(15,15) =\arctan\!\Bigl(\frac{225}{10\sqrt{550}}\Bigr) \approx0{,}764\text{ rad}, \quad \varphi(20,15) =\arctan\!\Bigl(\frac{300}{10\sqrt{725}}\Bigr) \approx0{,}840\text{ rad},
e com os sinais em y,
\varphi(15,-15)=-0{,}764,
\varphi(20,-15)=-0{,}840.
Aplicando a fórmula
I_B =\frac{1}{2\pi}\Bigl[\varphi(20,-15)+\varphi(15,15) -\varphi(20,15)-\varphi(15,-15)\Bigr],
temos
I_B =\frac{1}{2\pi}\bigl[-0{,}840+0{,}764-0{,}840-(-0{,}764)\bigr] =\frac{1}{2\pi}\bigl[-1{,}680+1{,}528\bigr] =\frac{-0{,}152}{2\pi} \approx-0{,}0242.
O sinal negativo advém da ordem convencional de subtrações; tomando o valor absoluto de influência relevante,
|I_B|\approx0{,}0242,
e
\Delta\sigma_{z,B} = q_B\,|I_B| =500\text{ kPa}\times0{,}0242 \approx12{,}1\text{ kPa}.

Passo 4

Superpondo as contribuições de A e B, temos
\Delta\sigma_z =\Delta\sigma_{z,A}+\Delta\sigma_{z,B} \approx41{,}0\,+\,12{,}1 =53{,}1\text{ kPa}.

Resposta

A tensão vertical adicional no centro do edifício A, a 10 m de profundidade, é aproximadamente
\boxed{53{,}1\text{ kPa}.}

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