Calcular as tensões de escoamento para uma liga de aluminio, conforme dados a seguir (variando a velocidade de deformação do equipamento).
Temperatura de trabalho:
Altura inicial: 100 mm
Altura final: 50 mm
Velocidade de deformação:
.
Velocidade de deformação:
.
Temperatura de trabalho:
Altura inicial: 100 mm
Altura final: 50 mm
Velocidade de deformação:
Velocidade de deformação:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule as tensões de escoamento para uma liga de alumínio quando a peça é reduzida de altura. Dados fornecidos (vou listar exatamente o que você deu):
- Temperatura de trabalho:
. - Altura inicial:
. - Altura final:
. - Velocidade de deformação (caso 1):
. - Velocidade de deformação (caso 2):
.
O que o enunciado pede explicitamente: “Calcular as tensões de escoamento … variando a velocidade de deformação do equipamento.”
Informações importantes que o enunciado NÃO deu (e que são necessárias para obter tensões numéricas):
Informações importantes que o enunciado NÃO deu (e que são necessárias para obter tensões numéricas):
- A lei constitutiva da liga (por exemplo, parâmetros de uma lei do tipo potência
ou modelo de Johnson–Cook com etc.). - Valores numéricos dos parâmetros mecânicos da liga (módulo, limite de escoamento estático, constantes
, ou no J–C, etc.).
Sigo a resolução a partir daqui calculando tudo o que é possível com os dados dados (particularmente as deformações e taxas de deformação), e explico como se obteriam as tensões se os parâmetros materiais estivessem disponíveis.
Passo 2
Converter unidades e calcular deslocamento e alturas em metros (tudo em TeX, conforme pedido).
- Altura inicial:
- Altura final:
- Deslocamento total (redução):
Explicação didática rápida: é importante trabalhar em unidades do SI (metros, segundos) para calcular taxas e tensões de forma consistente.
Passo 3
Calcular a deformação (engenharia e verdadeira) correspondente à redução de altura.
- Deformação de engenharia por compressão (magnitude):
Observação didática: em compressão muitos autores usam sinal negativo para
; aqui eu reporto a magnitude
e, quando necessário, o valor verdadeiro com sinal.
- Deformação verdadeira (logarítmica), que é a que aparece em leis constitutivas de trabalho plástico:
Explicação didática: a deformação verdadeira acumula incrementalmente; para compressão a razão
dá valor negativo. O valor absoluto
diz “quanto” a peça foi deformada em termos logarítmicos.
Passo 4
Calcular o tempo necessário para a redução para cada velocidade fornecida (velocidade constante do equipamento).
Fórmula: , onde
é o deslocamento total e
é a velocidade do pistão/plataforma.
Fórmula:
- Para
:
- Para
:
Didática: converter minutos para segundos quando for calcular taxas em
.
Passo 5
Calcular a taxa média de deformação verdadeira (magnitude média) para cada velocidade.
Fórmula da taxa média de deformação verdadeira:
Fórmula da taxa média de deformação verdadeira:
onde
é o valor total (aqui negativo para compressão); podemos usar o módulo para falar da intensidade.
- Para
:
- Para
:
Didática: a razão
tem unidade
. O sinal negativo indica compressão; o valor absoluto indica quão rápida foi a deformação.
Passo 6
Calcular a taxa instantânea de deformação verdadeira durante a compressão e valores iniciais/finais (muito útil para modelos que dependem do instante).
Equação exata (para velocidade constante do equipamento): . A derivada da deformação verdadeira é
Equação exata (para velocidade constante do equipamento):
Como
(altura diminui), fica
Portanto a taxa instantânea cresce em magnitude à medida que
diminui. Valores práticos:
- Converter velocidades para
:
- Taxa instantânea inicial (usar
):
- Taxa instantânea final (usar
):
Didática: escolha entre taxa média e instantânea depende do modelo de material; muitos modelos usam a taxa instantânea
.
Passo 7
Explicar as fórmulas usuais para obter a tensão de escoamento a partir da deformação, taxa de deformação e temperatura — e o que falta para obter números finais.
Dois modelos comuns:
Dois modelos comuns:
- Lei potência (modelo simples de encruamento com dependência de taxa opcional):
ou com dependência de taxa (forma multiplicativa):
onde:
-
é a tensão de escoamento (em ou ), -
é a constante de resistência (em mesmas unidades de ), -
é a deformação verdadeira (ou uma deformação equivalente), -
é o expoente de encruamento, -
é a sensibilidade à taxa (adimensional), -
é uma taxa de referência (por ex. ).
- Modelo de Johnson–Cook (muito usado em metais):
com definições:
-
= limite de escoamento a referência (em ), -
= parâmetros de encruamento, -
= sensibilidade à taxa, -
= taxa de referência, -
é a temperatura adimensional, -
= expoente termossensível.
O que falta para calcular
numericamente:
- Valores numéricos de
(no caso da lei potência) ou e temperaturas (no caso do J–C). - Além disso, se a tensão de escoamento a calcular for a carga real durante o processo, pode ser necessária correção por fricção entre amostra e placas, condição de escoamento (isotrópico, barreiras), e geometria (a barreira de estreitamento lateral altera distribuição de tensão). Sem esses parâmetros não se obtém um número único para a tensão de escoamento.
Passo 8
Mostrar — simbolicamente — como se obteria a tensão numérica para cada velocidade se você tivesse os parâmetros. Exemplo simbólico (lei potência com sensibilidade de taxa):
Suponha que os parâmetros fossem e
e
e referência
. Então, para cada caso usaríamos
Suponha que os parâmetros fossem
onde podemos usar
como a taxa média
calculada no Passo 5, ou uma taxa instantânea representativa do processo (por exemplo a média geométrica entre início/fim), conforme o modelo experimental do material.
Conclusão prática: sem (ou sem
no J–C) não é possível fornecer os valores numéricos de
.
Conclusão prática: sem
Passo 9
Resumo prático e próximo passo (motivacional): já calculei tudo que depende só da geometria e velocidades (as deformações e taxas). Para obter as tensões numéricas finais eu preciso apenas dos parâmetros constitutivos da liga (ou dos resultados experimentais de ensaios de tração/compressão a diferentes taxas). Se você me passar esses parâmetros eu já aplico as fórmulas e te devolvo as tensões prontas — e eu faço isso passo a passo mostrando a conta.
Resposta
Para
:
,
,
,
,
.
Para :
,
,
,
,
.
Não é possível calcular valores numéricos das tensões de escoamento porque faltam os parâmetros constitutivos da liga (por exemplo
e
, ou
do modelo Johnson–Cook) e possíveis correções por fricção/geometria. Se você fornecer esses parâmetros eu calculo as tensões passo a passo.
Para
Não é possível calcular valores numéricos das tensões de escoamento