Calcular as tensões de escoamento para uma liga de aluminio, conforme dados a seguir (variando a velocidade de deformação do equipamento).
Temperatura de trabalho: 18^{\circ} \mathrm{C}
Altura inicial: 100 mm
Altura final: 50 mm
Velocidade de deformação: 0,05 \mathrm{~m} / \mathrm{min}.
Velocidade de deformação: 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{min}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule as tensões de escoamento para uma liga de alumínio quando a peça é reduzida de altura. Dados fornecidos (vou listar exatamente o que você deu):
  • Temperatura de trabalho: \;18^\circ\mathrm{C}.
  • Altura inicial: \;100\\ \mathrm{mm}.
  • Altura final: \;50\\ \mathrm{mm}.
  • Velocidade de deformação (caso 1): \;0,05\\ \mathrm{m/min}.
  • Velocidade de deformação (caso 2): \;5,0\\ \mathrm{m/min}.
O que o enunciado pede explicitamente: “Calcular as tensões de escoamento … variando a velocidade de deformação do equipamento.”
Informações importantes que o enunciado NÃO deu (e que são necessárias para obter tensões numéricas):
  • A lei constitutiva da liga (por exemplo, parâmetros de uma lei do tipo potência \sigma=K\varepsilon^n ou modelo de Johnson–Cook com A,B,n,C,\dot{\varepsilon}_0, etc.).
  • Valores numéricos dos parâmetros mecânicos da liga (módulo, limite de escoamento estático, constantes K,n, ou A,B,n,C no J–C, etc.).
    Sigo a resolução a partir daqui calculando tudo o que é possível com os dados dados (particularmente as deformações e taxas de deformação), e explico como se obteriam as tensões se os parâmetros materiais estivessem disponíveis.

Passo 2

Converter unidades e calcular deslocamento e alturas em metros (tudo em TeX, conforme pedido).
  • Altura inicial: \;h_0 = 100\\ \mathrm{mm} = 0,100\\ \mathrm{m}.
  • Altura final: \;h_f = 50\\ \mathrm{mm} = 0,050\\ \mathrm{m}.
  • Deslocamento total (redução): \;\Delta h = h_0 - h_f = 0,050\\ \mathrm{m}.
Explicação didática rápida: é importante trabalhar em unidades do SI (metros, segundos) para calcular taxas e tensões de forma consistente.

Passo 3

Calcular a deformação (engenharia e verdadeira) correspondente à redução de altura.
  • Deformação de engenharia por compressão (magnitude):
\varepsilon_\text{eng}=\frac{h_0-h_f}{h_0}=\frac{0,100-0,050}{0,100}=0,50.
Observação didática: em compressão muitos autores usam sinal negativo para \varepsilon; aqui eu reporto a magnitude 0,50 e, quando necessário, o valor verdadeiro com sinal.
  • Deformação verdadeira (logarítmica), que é a que aparece em leis constitutivas de trabalho plástico:
\varepsilon_\text{true}=\ln\!\left(\frac{h_f}{h_0}\right)=\ln(0,5)=-0,693147\ldots \approx -0,69315.
Explicação didática: a deformação verdadeira acumula incrementalmente; para compressão a razão h_f/h_0<1 dá valor negativo. O valor absoluto |\varepsilon_\text{true}| diz “quanto” a peça foi deformada em termos logarítmicos.

Passo 4

Calcular o tempo necessário para a redução para cada velocidade fornecida (velocidade constante do equipamento).
Fórmula: \;t=\dfrac{\Delta h}{v}, onde \Delta h é o deslocamento total e v é a velocidade do pistão/plataforma.
  • Para \;v_1=0,05\\ \mathrm{m/min}:
t_1=\frac{0,050\\ \mathrm{m}}{0,05\\ \mathrm{m/min}}=1\\ \mathrm{min}=60\\ \mathrm{s}.
  • Para \;v_2=5,0\\ \mathrm{m/min}:
t_2=\frac{0,050\\ \mathrm{m}}{5,0\\ \mathrm{m/min}}=0{,}01\\ \mathrm{min}=0{,}6\\ \mathrm{s}.
Didática: converter minutos para segundos quando for calcular taxas em \mathrm{s}^{-1}.

Passo 5

Calcular a taxa média de deformação verdadeira (magnitude média) para cada velocidade.
Fórmula da taxa média de deformação verdadeira:
\dot{\varepsilon}_\text{médio}=\frac{\Delta\varepsilon_\text{true}}{\Delta t}=\frac{\varepsilon_\text{true}}{t},é
onde \varepsilon_\text{true} é o valor total (aqui negativo para compressão); podemos usar o módulo para falar da intensidade.
  • Para v_1:
\dot{\varepsilon}_{\text{médio},1}=\frac{-0,693147}{60\\ \mathrm{s}}=-0,011552\\ \mathrm{s}^{-1}\approx -0,01155\\ \mathrm{s}^{-1}.é
  • Para v_2:
\dot{\varepsilon}_{\text{médio},2}=\frac{-0,693147}{0,6\\ \mathrm{s}}=-1,155245\\ \mathrm{s}^{-1}\approx -1,15525\\ \mathrm{s}^{-1}.é
Didática: a razão \dot{\varepsilon} tem unidade \mathrm{s}^{-1}. O sinal negativo indica compressão; o valor absoluto indica quão rápida foi a deformação.

Passo 6

Calcular a taxa instantânea de deformação verdadeira durante a compressão e valores iniciais/finais (muito útil para modelos que dependem do instante).
Equação exata (para velocidade constante do equipamento): \;h(t)=h_0 - v t. A derivada da deformação verdadeira é
\dot{\varepsilon}(t)=\frac{d}{dt}\ln\left(\frac{h(t)}{h_0}\right)=\frac{1}{h(t)}\cdot\frac{d h(t)}{dt}=\frac{\dot{h}(t)}{h(t)}.
Como \dot{h}(t)=-v (altura diminui), fica
\dot{\varepsilon}(t)=-\frac{v}{h(t)}.
Portanto a taxa instantânea cresce em magnitude à medida que h(t) diminui. Valores práticos:
  • Converter velocidades para \mathrm{m/s}:
v_1=0,05\\ \mathrm{m/min}=\frac{0,05}{60}\\ \mathrm{m/s}=0,00083333\\ \mathrm{m/s}\approx 8,3333\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s},
v_2=5{,}0\\ \mathrm{m/min}=\frac{5}{60}\\ \mathrm{m/s}=0{,}0833333\\ \mathrm{m/s}.
  • Taxa instantânea inicial (usar h=h_0):
\dot{\varepsilon}_{\text{inst},1}^{\text{início}}=-\frac{0,00083333}{0,100}=-0,0083333\\ \mathrm{s}^{-1},í
\dot{\varepsilon}_{\text{inst},2}^{\text{início}}=-\frac{0,0833333}{0,100}=-0,833333\\ \mathrm{s}^{-1}.í
  • Taxa instantânea final (usar h=h_f):
\dot{\varepsilon}_{\text{inst},1}^{\text{fim}}=-\frac{0,00083333}{0,050}=-0,0166667\\ \mathrm{s}^{-1},
\dot{\varepsilon}_{\text{inst},2}^{\text{fim}}=-\frac{0,0833333}{0,050}=-1,666667\\ \mathrm{s}^{-1}.
Didática: escolha entre taxa média e instantânea depende do modelo de material; muitos modelos usam a taxa instantânea \dot{\varepsilon}(t).

Passo 7

Explicar as fórmulas usuais para obter a tensão de escoamento a partir da deformação, taxa de deformação e temperatura — e o que falta para obter números finais.
Dois modelos comuns:
  1. Lei potência (modelo simples de encruamento com dependência de taxa opcional):
\sigma = K\,\varepsilon^n\quad\text{(se só depende de deformação)},óçã
ou com dependência de taxa (forma multiplicativa):
\sigma = K\,\varepsilon^n\left(1 + m\ln\frac{\dot{\varepsilon}}{\dot{\varepsilon}_0}\right),
onde:
  • \sigma é a tensão de escoamento (em \mathrm{Pa} ou \mathrm{MPa}),
  • K é a constante de resistência (em mesmas unidades de \sigma),
  • \varepsilon é a deformação verdadeira (ou uma deformação equivalente),
  • n é o expoente de encruamento,
  • m é a sensibilidade à taxa (adimensional),
  • \dot{\varepsilon}_0 é uma taxa de referência (por ex. 1\\ \mathrm{s}^{-1}).
  1. Modelo de Johnson–Cook (muito usado em metais):
\sigma=(A+B\varepsilon^n)\left[1+C\ln\!\left(\frac{\dot{\varepsilon}}{\dot{\varepsilon}_0}\right)\right]\left[1-(T^*)^m\right],
com definições:
  • A = limite de escoamento a referência (em \mathrm{MPa}),
  • B,n = parâmetros de encruamento,
  • C = sensibilidade à taxa,
  • \dot{\varepsilon}_0 = taxa de referência,
  • T^*=\dfrac{T-T_\text{ref}}{T_\text{fusão}-T_\text{ref}}ã é a temperatura adimensional,
  • m = expoente termossensível.
O que falta para calcular \sigma numericamente:
  • Valores numéricos de K,n (no caso da lei potência) ou A,B,n,C,\dot{\varepsilon}_0,m e temperaturas (no caso do J–C).
  • Além disso, se a tensão de escoamento a calcular for a carga real durante o processo, pode ser necessária correção por fricção entre amostra e placas, condição de escoamento (isotrópico, barreiras), e geometria (a barreira de estreitamento lateral altera distribuição de tensão). Sem esses parâmetros não se obtém um número único para a tensão de escoamento.

Passo 8

Mostrar — simbolicamente — como se obteria a tensão numérica para cada velocidade se você tivesse os parâmetros. Exemplo simbólico (lei potência com sensibilidade de taxa):
Suponha que os parâmetros fossem K e n e m e referência \dot{\varepsilon}_0. Então, para cada caso usaríamos
\sigma_i = K\,|\varepsilon_\text{true}|^{\,n}\!\left(1 + m\ln\frac{|\dot{\varepsilon}_{\text{característico},i}|}{\dot{\varepsilon}_0}\right),í
onde podemos usar |\dot{\varepsilon}_{\text{característico},i}|í como a taxa média |\dot{\varepsilon}_{\text{médio},i}|é calculada no Passo 5, ou uma taxa instantânea representativa do processo (por exemplo a média geométrica entre início/fim), conforme o modelo experimental do material.
Conclusão prática: sem K,n,m,\dot{\varepsilon}_0 (ou sem A,B,n,C,\dot{\varepsilon}_0,m no J–C) não é possível fornecer os valores numéricos de \sigma.

Passo 9

Resumo prático e próximo passo (motivacional): já calculei tudo que depende só da geometria e velocidades (as deformações e taxas). Para obter as tensões numéricas finais eu preciso apenas dos parâmetros constitutivos da liga (ou dos resultados experimentais de ensaios de tração/compressão a diferentes taxas). Se você me passar esses parâmetros eu já aplico as fórmulas e te devolvo as tensões prontas — e eu faço isso passo a passo mostrando a conta.

Resposta

Para \;v=0,05\\ \mathrm{m/min}:
\;\varepsilon_\text{eng}=0,50, \;\varepsilon_\text{true}=-0,69315,
\;\dot{\varepsilon}_\text{médio}=-0,01155\\ \mathrm{s}^{-1}é,
\;\dot{\varepsilon}_{\text{inst}}^{\text{início}}=-0,008333\\ \mathrm{s}^{-1}í,
\;\dot{\varepsilon}_{\text{inst}}^{\text{fim}}=-0,0166667\\ \mathrm{s}^{-1}.
Para \;v=5{,}0\\ \mathrm{m/min}:
\;\varepsilon_\text{eng}=0,50, \;\varepsilon_\text{true}=-0,69315,
\;\dot{\varepsilon}_\text{médio}=-1,15525\\ \mathrm{s}^{-1}é,
\;\dot{\varepsilon}_{\text{inst}}^{\text{início}}=-0,833333\\ \mathrm{s}^{-1}í,
\;\dot{\varepsilon}_{\text{inst}}^{\text{fim}}=-1,666667\\ \mathrm{s}^{-1}.
Não é possível calcular valores numéricos das tensões de escoamento \sigma porque faltam os parâmetros constitutivos da liga (por exemplo K,n e m, ou A,B,n,C,\dot{\varepsilon}_0,m do modelo Johnson–Cook) e possíveis correções por fricção/geometria. Se você fornecer esses parâmetros eu calculo as tensões passo a passo.

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