Calcular: a) tensões de linha; b) tensões de fase; c) correntes nos ramos; d) correntes de linha; e) potencias por ramo; f) corrente no neutro; g) potências totais; h) diagrama fasorial; i) diagrama das potências.
Entradas (VBC é referência)
Tensão linha-linha (V): 220
Modo de ligação:
Sequência de fases:
\Delta-3 fios (triângulo)
ABC
VBC ref.)
Impedâncias (Escolha conforme modo)
Impedâncias ' Y ' por fase ( \mathrm{Za}, \mathrm{Zb}, \mathrm{Zc} ) Impedâncias ' \Delta ' por ramo (Zab, Zbc, Zca)
|\mathrm{Za}|(\Omega): 5 \angle \mathrm{Za}\left({ }^{\circ}\right): 45 |\mathrm{Zab}|(\Omega) : 35
|\mathrm{Zb}|(\Omega): 5 \angle \mathrm{Zb}\left({ }^{*}\right): 45 |\mathrm{Zbc}|(\Omega) : 35 20
|\mathrm{Zc}|(\Omega): \quad 5 \angle \mathrm{Zc}\left({ }^{2}\right): 45 |\mathrm{Zca}|(\Omega) : 10 45

Passo 1

O enunciado pede, para um sistema trifásico ligado em triângulo (Δ, 3 fios) com referência V_{BC}:\n
a) tensões de linha; b) tensões de fase; c) correntes nos ramos (impedâncias do triângulo); d) correntes de linha; e) potências por ramo; f) corrente no neutro; g) potências totais; h) diagrama fasorial; i) diagrama das potências.\n
Dados fornecidos (peguei estes valores da tabela enviada):\n
  • Tensão linha-linha: V_{BC}=220\\ \text{V} (referência, ou seja \angle 0^\circ).\n
  • Modo: \Delta — triângulo, 3 fios (portanto não há neutro físico ligado).\n
  • Impedâncias do triângulo (peguei os módulos e ângulos da tabela; note que a tabela estava pouco clara para Z_{ab}, então fiz uma suposição explícita abaixo):\n
    • Assumo Z_{ab}=35\angle 20^\circ\\ \Omega (assumi ângulo 20^\circ para Z_{ab} porque a tabela mostrava 35 e, nas linhas seguintes, 20° aparece associado a uma impedância de 35 — se você tiver outro valor angulado para Z_{ab}, substitua e repita os passos).\n - Z_{bc}=35\angle 20^\circ\\ \Omega (peguei da tabela: módulo 35, ângulo 20^\circ).\n - Z_{ca}=10\angle 45^\circ\\ \Omega (peguei da tabela: módulo 10, ângulo 45^\circ).\n
      Observação sobre a suposição: a tabela estava um pouco desformatada; se o ângulo de Z_{ab} for diferente, os cálculos mudam de acordo. Vou seguir com as suposições acima para resolver todo o problema.

Passo 2

Entender relações no triângulo e convenções de sinais (mini-aula prática)\n
  • Em ligação \Delta cada ramo está entre duas fases: ramo ab está entre a barra A e B, etc. A tensão no ramo é igual à tensão de linha correspondente: V_{ab}=V_A-V_B, V_{bc}=V_B-V_C, V_{ca}=V_C-V_A. Em magnitude, para sistema simétrico trifásico estas três tensões têm o mesmo módulo e defasagens de 120^\circ.\n
  • Aqui tomamos V_{BC} como referência: \;V_{BC}=220\angle 0^\circ\\ \text{V}. Em sequência positiva ABC as tensões de linha (ramo) ficam defasadas de 120^\circ. Vou usar a convenção (compatível com sequência ABC):\n
    \;V_{AB}=220\angle 120^\circ\\ \text{V},\n
    \;V_{BC}=220\angle 0^\circ\\ \text{V},\n
    \;V_{CA}=220\angle -120^\circ\\ \text{V}.\n
  • Corrente em cada ramo: \;I_{xy}=V_{xy}/Z_{xy}. Se Z_{xy}=|Z|\angle\phi_Z e V_{xy}=|V|\angle\phi_V, então \;I_{xy}=\dfrac{|V|}{|Z|}\angle(\phi_V-\phi_Z). Isso evita ter que converter a retangular inicialmente.

Passo 3

Calcular tensões de linha (ramo) explicitamente\n
  • Já fixado: \;V_{BC}=220\angle 0^\circ\\ \text{V}.\n
  • Assim:\n
    \;V_{AB}=220\angle 120^\circ\\ \text{V},\n
    \;V_{CA}=220\angle -120^\circ\\ \text{V}.\n
    (Isto responde a) tensões de linha; como o sistema está em triângulo, as tensões de fase “de componentes à estrela” não existem separadamente — em triângulo chamamos de tensões de ramo, que são iguais às tensões linha-linha.)

Passo 4

Calcular correntes nos ramos (aplico I_{xy}=V_{xy}/Z_{xy}; mini-aula sobre divisão de fasores)\n
Fórmula usada: se \;I=\dfrac{V\angle\theta_V}{Z\angle\theta_Z}=\dfrac{|V|}{|Z|}\angle(\theta_V-\theta_Z). Ou seja, divide-se os módulos e subtrai-se os ângulos.\n
Aplicando aos três ramos com os valores assumidos:\n
  • Para o ramo bc: \;I_{bc}=\dfrac{220\angle 0^\circ}{35\angle 20^\circ}=\dfrac{220}{35}\angle(0-20)^\circ=6{,}2857\angle -20^\circ\\ \text{A}.\n
  • Para o ramo ab: \;I_{ab}=\dfrac{220\angle 120^\circ}{35\angle 20^\circ}=\dfrac{220}{35}\angle(120-20)^\circ=6{,}2857\angle 100^\circ\\ \text{A}.\n
  • Para o ramo ca: \;I_{ca}=\dfrac{220\angle -120^\circ}{10\angle 45^\circ}=\dfrac{220}{10}\angle(-120-45)^\circ=22\angle -165^\circ\\ \text{A}.\n
    (Expliquei a operação: módulo dividido, ângulo subtraído.)

Passo 5

Converter correntes dos ramos para forma retangular e alívio interpretativo\n
  • \;I_{ab}=6{,}2857\angle 100^\circ\\ \Rightarrow\\ I_{ab}\approx -1{,}091 + j6{,}189\\ \text{A}.\n
  • \;I_{bc}=6{,}2857\angle -20^\circ\\ \Rightarrow\\ I_{bc}\approx 5{,}905 - j2{,}148\\ \text{A}.\n
  • \;I_{ca}=22\angle -165^\circ\\ \Rightarrow\\ I_{ca}\approx -21{,}252 - j5{,}694\\ \text{A}.\n
    (Converteu-se usando \;x+jy=|I|(\cos\theta + j\sin\theta). Isto é útil para somas e checagens.)

Passo 6

Calcular correntes de linha (mini-aula: relação entre correntes de ramo e correntes de linha em Δ)\n
Escolhemos a convenção de correntes de ramo como: I_{ab} vai de A para B; I_{bc} de B para C; I_{ca} de C para A.\n
As correntes de linha (saindo das respectivas barras/linhas para o triângulo) são:\n
\;I_A = I_{ab} - I_{ca},\n
\;I_B = I_{bc} - I_{ab},\n
\;I_C = I_{ca} - I_{bc}.\n
(Explicação curta: em cada nó de fase somam-se as correntes que saem/entram; por exemplo corrente que sai em A vai pelo ramo ab saindo e pelo ramo ca entrando no A se o sentido for C→A, daí a subtração.)\n
Aplicando com as formas retangulares:\n
  • \;I_A = (-1{,}091 + j6{,}189) - (-21{,}252 - j5{,}694) = 20{,}161 + j11{,}883\\ \text{A}\n \Rightarrow\\ |I_A|\approx 23{,}40\angle 30{,}3^\circ\\ \text{A}.\n- \;I_B = (5{,}905 - j2{,}148) - (-1{,}091 + j6{,}189) = 6{,}996 - j8{,}337\\ \text{A}\n \Rightarrow\\ |I_B|\approx 10{,}89\angle -50{,}2^\circ\\ \text{A}.\n- \;I_C = (-21{,}252 - j5{,}694) - (5{,}905 - j2{,}148) = -27{,}157 - j3{,}546\\ \text{A}\n \Rightarrow\\ |I_C|\approx 27{,}39\angle -172{,}6^\circ\\ \text{A}.\n\nCheque rápido (sanity check): \;I_A+I_B+I_C\approx 0 (deve-se anular para sistema trifásico sem neutro) — confirmado numericamente nos valores retangulares (pequeno erro de arredondamento).

Passo 7

Calcular potências por ramo (mini-aula: potência complexa por ramo)\n
Fórmula: potência complexa do ramo é \;S_{xy}=V_{xy}\,I_{xy}^* (onde I^* é o conjugado de I). Isso dá S=P+jQ (P em W, Q em VAR). Em forma módulo/ângulo: |S|=|V||I|, ângulo \angle S=\angle V-\angle I.\n
Aplicando nos três ramos:\n
  • Ramo ab: \;S_{ab}=220\angle 120^\circ \cdot 6{,}2857\angle -100^\circ = 1382{,}86\angle 20^\circ\\ \text{VA}.\n Em retangular: P_{ab}=1382{,}86\cos20^\circ\approx 1299{,}7\\ \text{W},\;Q_{ab}\approx 1382{,}86\sin20^\circ\approx 473{,}0\\ \text{VAR}.\n- Ramo bc: \;S_{bc}=220\angle 0^\circ \cdot 6{,}2857\angle 20^\circ = 1382{,}86\angle 20^\circ\\ \text{VA}.\n Portanto P_{bc}\approx 1299{,}7\\ \text{W},\;Q_{bc}\approx 473{,}0\\ \text{VAR}.\n- Ramo ca: \;S_{ca}=220\angle -120^\circ \cdot 22\angle 165^\circ = 4840\angle 45^\circ\\ \text{VA}.\n Em retangular: P_{ca}=4840\cos45^\circ\approx 3422{,}6\\ \text{W},\;Q_{ca}\approx 3422{,}6\\ \text{VAR}.\n\n(Observação: sinais positivos de Q indicam consumo reativo indutivo — depende da convenção; aqui resultado positivo significa que a corrente está atrasada em relação à tensão no ramo.)

Passo 8

Potências totais do sistema (soma das potências por ramo)\n
Somando as partes reais e imaginárias:\n
  • P_{total}=P_{ab}+P_{bc}+P_{ca}\approx 1299{,}7+1299{,}7+3422{,}6 = 6022{,}0\\ \text{W}.\n- Q_{total}=Q_{ab}+Q_{bc}+Q_{ca}\approx 473{,}0+473{,}0+3422{,}6 = 4368{,}6\\ \text{VAR}.\n- Potência aparente total: \;S_{total}=P_{total}+jQ_{total}\approx 6022{,}0 + j4368{,}6\\ \text{VA}.\n Em módulo/ângulo: \;|S_{total}|\approx 7440\\ \text{VA},\\ \angle S_{total}\approx 35{,}9^\circ.\n\n(Verificação útil: S_{total}=\sum S_{ramos} e também pode ser calculado por S_{total}=V_{LL}\cdot I_{linha}^* somando por fases; com aritmética correta dá o mesmo.)

Passo 9

Corrente no neutro\n
  • Em ligação \Delta com 3 fios NÃO existe condutor neutro ligado ao sistema (ou seja, eletroicamente não há ponto neutro comum onde circularia corrente). Portanto a corrente no neutro é nula:\n
    \;I_N=0\\ \text{A}.\n
    (Se o enunciado pedisse neutro, o resultado prático em \Delta é “não aplicável” ou “zero”.)

Passo 10

Diagrama fasorial (descrição) e diagrama das potências (descrição)\n
  • Diagrama das tensões (fasores): três tensões de linha iguais em módulo 220\\ \text{V} e defasadas de 120^\circ: \;V_{AB}=220\angle 120^\circ,\;V_{BC}=220\angle 0^\circ,\;V_{CA}=220\angle -120^\circ.\n
  • Diagrama das correntes dos ramos: plotar os três fasores\n - \;I_{ab}=6{,}29\angle 100^\circ\\ \text{A}\n - \;I_{bc}=6{,}29\angle -20^\circ\\ \text{A}\n - \;I_{ca}=22{,}00\angle -165^\circ\\ \text{A}\n Eles não formam um triângulo equilátero: I_{ca} é muito maior devido à menor impedância Z_{ca}.\n
  • Diagrama das correntes de linha: plotar fasores\n - \;I_A=23{,}40\angle 30{,}3^\circ\\ \text{A}\n - \;I_B=10{,}89\angle -50{,}2^\circ\\ \text{A}\n - \;I_C=27{,}39\angle -172{,}6^\circ\\ \text{A}\n Observe que a soma vetorial I_A+I_B+I_C=0 (sem neutro).\n
  • Diagrama das potências por ramo: cada S_{xy} é um vetor complexo no plano P- Q:\n - S_{ab}=1382{,}86\angle 20^\circ\\ \text{VA} (componentes 1299{,}7 + j473{,}0).\n - S_{bc}=1382{,}86\angle 20^\circ\\ \text{VA} (igual a S_{ab}).\n - S_{ca}=4840\angle 45^\circ\\ \text{VA} (componentes 3422{,}6 + j3422{,}6).\n O vetor total S_{total} é a soma vetorial desses três, resultando em 6022{,}0 + j4368{,}6\\ \text{VA} ou |S_{total}|\angle 35{,}9^\circ.\n
    (Desenhe esses vetores no plano complexo: tensões em torno do círculo 120°; correntes e potências colocados com seus ângulos respectivos. Se precisar do desenho, com esses valores você pode desenhar os vetores sobre papel milimetrado ou num software.)

Resposta

a) V_{AB}=220\angle 120^\circ\\ \text{V};\quad V_{BC}=220\angle 0^\circ\\ \text{V};\quad V_{CA}=220\angle -120^\circ\\ \text{V}.\n
b) (Em \Delta as tensões de fase são as tensões de ramo = tensões linha acima.)\n
c) I_{ab}=6{,}29\angle 100^\circ\\ \text{A};\quad I_{bc}=6{,}29\angle -20^\circ\\ \text{A};\quad I_{ca}=22{,}00\angle -165^\circ\\ \text{A}.\n
d) I_A=23{,}40\angle 30{,}3^\circ\\ \text{A};\quad I_B=10{,}89\angle -50{,}2^\circ\\ \text{A};\quad I_C=27{,}39\angle -172{,}6^\circ\\ \text{A}.\n
e) S_{ab}=1382{,}86\angle 20^\circ\\ \text{VA}\\ (P_{ab}=1299{,}7\\ \text{W},\\ Q_{ab}=473{,}0\\ \text{VAR});\n S_{bc}=1382{,}86\angle 20^\circ\\ \text{VA}\\ (P_{bc}=1299{,}7\\ \text{W},\\ Q_{bc}=473{,}0\\ \text{VAR});\n S_{ca}=4840\angle 45^\circ\\ \text{VA}\\ (P_{ca}=3422{,}6\\ \text{W},\\ Q_{ca}=3422{,}6\\ \text{VAR}).\n
f) I_N=0\\ \text{A} (não aplicável / nulo em Δ 3-fios).\n
g) P_{total}=6022{,}0\\ \text{W};\quad Q_{total}=4368{,}6\\ \text{VAR};\quad S_{total}\approx 7440\angle 35{,}9^\circ\\ \text{VA}.\n
h) Diagrama fasorial (descrição): tensões 220\angle 120^\circ,\\\ 220\angle 0^\circ,\\\ 220\angle -120^\circ; correntes de ramo 6{,}29\angle 100^\circ,\\\ 6{,}29\angle -20^\circ,\\\ 22\angle -165^\circ; correntes de linha 23{,}40\angle 30{,}3^\circ,\\\ 10{,}89\angle -50{,}2^\circ,\\\ 27{,}39\angle -172{,}6^\circ (plote-os no plano complexo para visualizar).\n
i) Diagrama das potências: vetores S_{ab}=1382{,}86\angle 20^\circ,\\ S_{bc}=1382{,}86\angle 20^\circ,\\ S_{ca}=4840\angle 45^\circ somam vetorialmente para S_{total}=6022{,}0 + j4368{,}6\\ \text{VA} ( |S_{total}|\angle 35{,}9^\circ).

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