Encontre uma equaçāo vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga P e Q.
P(a, b, c), \quad Q(u, v, w)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas muito específicas: (1) uma equação vetorial e (2) equações paramétricas para o segmento de reta que liga os pontos P e Q.
Dados fornecidos: P(a,b,c) e Q(u,v,w).
Nada mais foi pedido (por exemplo, não pediram a equação da reta inteira, só do segmento entre P e Q). Vou usar essas coordenadas para construir as respostas.

Passo 2

Vamos começar lembrando como representar um ponto por um vetor posição. O ponto P(a,b,c) pode ser associado ao vetor posição
\vec{r}_P = \langle a,b,c\rangle,
e o ponto Q(u,v,w) ao vetor posição
\vec{r}_Q = \langle u,v,w\rangle.
Esses vetores simplesmente colocam as coordenadas do ponto em forma de vetor. Pense neles como “setas” saindo da origem (0,0,0) até os pontos P e Q.

Passo 3

Para construir uma reta (ou segmento) entre P e Q precisamos do vetor direção, que aponta de P para Q. Esse vetor é obtido por subtração das coordenadas:
\vec{PQ}=\vec{r}_Q-\vec{r}_P=\langle u-a,\; v-b,\; w-c\rangle.
Explicando a operação: subtraímos componente a componente — isso dá a “diferença” entre os pontos e mostra em que direção (e quanto) devemos mover a partir de P para chegar em Q.

Passo 4

A forma padrão de escrever a equação vetorial de uma reta passando por P com direção \vec{d}=\vec{PQ} é
\vec{r}(t)=\vec{r}_P + t\,\vec{d}.
Substituindo \vec{r}_P e \vec{d} que já temos:
\vec{r}(t)=\langle a,b,c\rangle + t\langle u-a,\;v-b,\;w-c\rangle.
Aqui t é um parâmetro real. Para a reta inteira t varia por todos os reais. Para o segmento entre P e Q vamos restringir t a um intervalo — isso vem no próximo passo. Observação alternativa (útil na prova): essa mesma equação pode ser escrita como combinação convexa
\vec{r}(t)=(1-t)\langle a,b,c\rangle + t\langle u,v,w\rangle,
que deixa claro que t interpola entre P e Q.

Passo 5

Agora extraímos as componentes para obter as equações paramétricas. A equação vetorial
\vec{r}(t)=\langle a + t(u-a),\; b + t(v-b),\; c + t(w-c)\rangle
equivale às equações paramétricas
x(t)=a + t(u-a),
y(t)=b + t(v-b),
z(t)=c + t(w-c).
Cada uma dessas expressa a coordenada x,y,z de um ponto do segmento em função do parâmetro t.

Passo 6

Agora explico o porquê do intervalo de t que corresponde ao segmento entre P e Q. Se t=0 temos
\vec{r}(0)=\langle a,b,c\rangle=\vec{r}_P,
logo t=0 dá o ponto P. Se t=1 temos
\vec{r}(1)=\langle u,v,w\rangle=\vec{r}_Q,
logo t=1 dá o ponto Q. Para qualquer t com 0\le t\le 1 a expressão (1-t)\vec{r}_P + t\vec{r}_Q é uma combinação convexa dos vetores posição e produz exatamente os pontos do segmento que une P e Q. Portanto, para o segmento tomamos t\in[0,1].

Passo 7

(Um detalhe prático que costuma cair na prova) Se em algum caso a diferença em alguma componente for zero (por exemplo u-a=0), a correspondente equação paramétrica fica constante (por exemplo x(t)=a) — isso significa que essa coordenada não varia ao longo do segmento. Não precisa complicar: as fórmulas de cima continuam válidas e, ao escrever formas simétricas, deve-se cuidar de possíveis divisões por zero.

Resposta

\vec{r}(t)=\langle a,b,c\rangle + t\langle u-a,\;v-b,\;w-c\rangle,\quad 0\le t\le 1
x(t)=a + t(u-a),\quad y(t)=b + t(v-b),\quad z(t)=c + t(w-c),\quad 0\le t\le 1

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