Encontre uma equaçāo vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas muito específicas: (1) uma equação vetorial e (2) equações paramétricas para o segmento de reta que liga os pontos
e
.
Dados fornecidos: e
.
Nada mais foi pedido (por exemplo, não pediram a equação da reta inteira, só do segmento entre e
). Vou usar essas coordenadas para construir as respostas.
Dados fornecidos:
Nada mais foi pedido (por exemplo, não pediram a equação da reta inteira, só do segmento entre
Passo 2
Vamos começar lembrando como representar um ponto por um vetor posição. O ponto
pode ser associado ao vetor posição
e o ponto
ao vetor posição
Esses vetores simplesmente colocam as coordenadas do ponto em forma de vetor. Pense neles como “setas” saindo da origem
até os pontos
e
.
Passo 3
Para construir uma reta (ou segmento) entre
e
precisamos do vetor direção, que aponta de
para
. Esse vetor é obtido por subtração das coordenadas:
Explicando a operação: subtraímos componente a componente — isso dá a “diferença” entre os pontos e mostra em que direção (e quanto) devemos mover a partir de
para chegar em
.
Passo 4
A forma padrão de escrever a equação vetorial de uma reta passando por
com direção
é
Substituindo
e
que já temos:
Aqui
é um parâmetro real. Para a reta inteira
varia por todos os reais. Para o segmento entre
e
vamos restringir
a um intervalo — isso vem no próximo passo. Observação alternativa (útil na prova): essa mesma equação pode ser escrita como combinação convexa
que deixa claro que
interpola entre
e
.
Passo 5
Agora extraímos as componentes para obter as equações paramétricas. A equação vetorial
equivale às equações paramétricas
Cada uma dessas expressa a coordenada
de um ponto do segmento em função do parâmetro
.
Passo 6
Agora explico o porquê do intervalo de
que corresponde ao segmento entre
e
. Se
temos
logo
dá o ponto
. Se
temos
logo
dá o ponto
. Para qualquer
com
a expressão
é uma combinação convexa dos vetores posição e produz exatamente os pontos do segmento que une
e
. Portanto, para o segmento tomamos
.
Passo 7
(Um detalhe prático que costuma cair na prova) Se em algum caso a diferença em alguma componente for zero (por exemplo
), a correspondente equação paramétrica fica constante (por exemplo
) — isso significa que essa coordenada não varia ao longo do segmento. Não precisa complicar: as fórmulas de cima continuam válidas e, ao escrever formas simétricas, deve-se cuidar de possíveis divisões por zero.