Encontre uma equaçāo vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga P e Q.
P(0,-1,1), \quad Q\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: uma equação vetorial e as equações paramétricas do segmento de reta que liga os pontos P e Q.
Os dados fornecidos são os pontos
P\bigl(0,-1,1\bigr),\qquad Q\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{4}\right).
Nada mais foi pedido. A partir disso vamos construir o segmento que une P e Q.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): um segmento de reta entre dois pontos P e Q pode ser descrito como todos os pontos que se obtêm começando em P e somando um múltiplo t do vetor que vai de P a Q. Esse vetor direção é \vec{d}=\overrightarrow{PQ}=\vec{Q}-\vec{P}. Usamos um parâmetro t real; para obter exatamente o segmento entre P e Q tomamos t variando em [0,1]: quando t=0 estamos em P e quando t=1 estamos em Q. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular o vetor direção \vec{d}=\overrightarrow{PQ}=\vec{Q}-\vec{P}. Subtraímos coordenada a coordenada:
\overrightarrow{PQ} = \left(\tfrac{1}{2}-0,\;\tfrac{1}{3}-(-1),\;\tfrac{1}{4}-1\right).
Agora compute cada componente separadamente:
\tfrac{1}{2}-0=\tfrac{1}{2}, \qquad \tfrac{1}{3}-(-1)=\tfrac{1}{3}+1=\tfrac{1}{3}+\tfrac{3}{3}=\tfrac{4}{3}, \qquad \tfrac{1}{4}-1=\tfrac{1}{4}-\tfrac{4}{4}=-\tfrac{3}{4}.
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\overrightarrow{PQ}=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{4}{3},-\tfrac{3}{4}\right).

Passo 4

Escrever a equação vetorial do segmento usando t\in[0,1]. A forma padrão é
\vec{r}(t)=\vec{P}+t\,\overrightarrow{PQ},
onde \vec{r}(t) é o vetor posição de um ponto genérico do segmento (ou seja, suas coordenadas variam com t), \vec{P} é o vetor posição do ponto P e \overrightarrow{PQ} é o vetor direção que acabamos de calcular. Substituindo os vetores:
\vec{r}(t)=\bigl(0,-1,1\bigr)+t\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{4}{3},-\tfrac{3}{4}\right),\qquad 0\le t\le 1.
Aqui t é o parâmetro: variar t de 0 a 1 percorre todo o segmento de P até Q.

Passo 5

Passar para as equações paramétricas (coordenadas), isto é, escrever as componentes x(t),y(t),z(t). Somando componente a componente:
x(t)=0+t\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{t}{2},
y(t)=-1+t\cdot\tfrac{4}{3}=-1+\tfrac{4}{3}t,
z(t)=1+t\cdot\left(-\tfrac{3}{4}\right)=1-\tfrac{3}{4}t,
com 0\le t\le 1.

Passo 6

Verificação rápida dos extremos (confirmação didática):
  • Para t=0: \bigl(x(0),y(0),z(0)\bigr)=(0,-1,1)=P.
  • Para t=1: \bigl(x(1),y(1),z(1)\bigr)=\bigl(\tfrac{1}{2},-1+\tfrac{4}{3},1-\tfrac{3}{4}\bigr)=\bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{4}\bigr)=Q.
    Isso confirma que a parametrização com t\in[0,1] realmente descreve o segmento entre P e Q.

Passo 7

Observação prática para a prova: memorize a ideia simples — vetor direção \vec{Q}-\vec{P}, equação \vec{r}(t)=\vec{P}+t(\vec{Q}-\vec{P}) e restringir t a [0,1] para obter o segmento. Se precisar, dá para reparametrizar (por exemplo trocar t por 1-s e usar s\in[0,1]), mas não é necessário aqui.

Resposta

\displaystyle \vec{r}(t)=\bigl(0,-1,1\bigr)+t\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{4}{3},-\tfrac{3}{4}\right),\quad 0\le t\le 1.
\displaystyle x(t)=\tfrac{t}{2},\quad y(t)=-1+\tfrac{4}{3}t,\quad z(t)=1-\tfrac{3}{4}t,\quad 0\le t\le 1.

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