Encontre uma equaçāo vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga P e Q. P(0,-1,1), \quad Q\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}\right)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: uma equação vetorial e as equações paramétricas do segmento de reta que liga os pontos P e Q.
Os dados fornecidos são os pontos
Nada mais foi pedido. A partir disso vamos construir o segmento que une P e Q.
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): um segmento de reta entre dois pontos P e Q pode ser descrito como todos os pontos que se obtêm começando em P e somando um múltiplo t do vetor que vai de P a Q. Esse vetor direção é \vec{d}=\overrightarrow{PQ}=\vec{Q}-\vec{P}. Usamos um parâmetro t real; para obter exatamente o segmento entre P e Q tomamos t variando em [0,1]: quando t=0 estamos em P e quando t=1 estamos em Q. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular o vetor direção \vec{d}=\overrightarrow{PQ}=\vec{Q}-\vec{P}. Subtraímos coordenada a coordenada:
Escrever a equação vetorial do segmento usando t\in[0,1]. A forma padrão é
\vec{r}(t)=\vec{P}+t\,\overrightarrow{PQ},
onde \vec{r}(t) é o vetor posição de um ponto genérico do segmento (ou seja, suas coordenadas variam com t), \vec{P} é o vetor posição do ponto P e \overrightarrow{PQ} é o vetor direção que acabamos de calcular. Substituindo os vetores:
Verificação rápida dos extremos (confirmação didática):
Para t=0: \bigl(x(0),y(0),z(0)\bigr)=(0,-1,1)=P.
Para t=1: \bigl(x(1),y(1),z(1)\bigr)=\bigl(\tfrac{1}{2},-1+\tfrac{4}{3},1-\tfrac{3}{4}\bigr)=\bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{4}\bigr)=Q.
Isso confirma que a parametrização com t\in[0,1] realmente descreve o segmento entre P e Q.
Passo 7
Observação prática para a prova: memorize a ideia simples — vetor direção \vec{Q}-\vec{P}, equação \vec{r}(t)=\vec{P}+t(\vec{Q}-\vec{P}) e restringir t a [0,1] para obter o segmento. Se precisar, dá para reparametrizar (por exemplo trocar t por 1-s e usar s\in[0,1]), mas não é necessário aqui.