Um trecho de um sistema de drenagem de esgotos sanitários é constituído por duas canalizações em série, com as seguintes características:
Trecho 1: D1
;
Trecho 2:
Determine a máxima e a mínima vazões no trecho para que se verifiquem as seguintes condições de norma:
- Máxima lâmina d’água:
e Mínima lâmina d’água:
- Máxima velocidade:
e Mínima velocidade:
Coef. de rugosidade de manning
.
Resp.: Qmáx
Qmín
Trecho 2:
Determine a máxima e a mínima vazões no trecho para que se verifiquem as seguintes condições de norma:
Resp.: Qmáx
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a vazão máxima e a vazão mínima que podem existir no trecho em série, respeitando simultaneamente as restrições de lâmina d’água e de velocidade para cada trecho. Dados fornecidos (tudo em SI, já converti diâmetros para metros onde necessário):
- Trecho 1:
, . - Trecho 2:
, . - Coeficiente de Manning:
. - Restrições de lâmina: mínima
e máxima . - Restrições de velocidade: mínima
e máxima .
Observações importantes sobre o que se pede (para que eu não me perca depois):
- Os dois trechos estão em série, logo a vazão
é a mesma nos dois trechos. Portanto a vazão admissível deve satisfazer as restrições em ambos os tubos simultaneamente. - Assim, a vazão máxima admissível será o menor (mínimo) entre as vazões máximas permitidas por cada condição em cada trecho; a vazão mínima admissível será o maior (máximo) entre as vazões mínimas exigidas por cada condição em cada trecho.
A resolução numérica começará no Passo 2.
Passo 2
Apresento as fórmulas e conceitos que vou usar (explicando cada símbolo):
- Equação de Manning para vazão em conduto parcialmente cheio:
onde
-
é a vazão ( ); -
é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional); -
é a área molhada da seção ( ); -
é o raio hidráulico, definido por ( ); -
é o perímetro molhado ( ); -
é a declividade (no enunciado chamada de ). -
Para um tubo circular parcialmente cheio (raio do tubo
) com lâmina (altura da água medida a partir do fundo), uso a representação por ângulo central (em radianos): - primeiro defino
e . - área molhada:
- perímetro molhado:
- raio hidráulico:
- primeiro defino
-
Relação entre velocidade média e raio hidráulico por Manning:
e lembrando que
.
Estratégia para aplicar as restrições:
- Para a restrição de lâmina
(por exemplo ou ): eu calculo e correspondentes e uso Manning para obter a vazão correspondente . - Para a restrição de velocidade
(por exemplo ou ): primeiro observo que a equação de Manning dá em função de (e de e ). Posso obter o que produziria essa resolvendo
Com esse
eu teria que encontrar a profundidade
que gera esse
(normalmente por método numérico), e então obter
e
. Porém antes de fazer isso, sempre verifico se a velocidade limite é maior ou menor que a velocidade quando o tubo está cheio (se
for maior que
no escoamento cheio, essa restrição de velocidade não é o limitante).
Vou então calcular, para cada trecho, as vazões correspondentes às lâminas extremas e verificar as restrições de velocidade.
Passo 3
Cálculo das velocidades quando o tubo está totalmente cheio (para saber se
é limitante):
- Fórmula para escoamento cheio: usar
na condição cheia. Para um tubo cheio .
Trecho 1 (
,
):
Trecho 2 (
,
):
Conclusão desta verificação: ambos os valores de
são muito menores que
. Logo a restrição de velocidade máxima
nunca será atingida — mesmo com o tubo cheio a velocidade é menor — portanto a velocidade máxima não limita a vazão máxima. Para a vazão máxima só precisa considerar a lâmina máxima
.
Passo 4
Cálculo das vazões correspondentes a
em cada trecho (usar fórmula de segmento circular e Manning). Faço passo a passo para cada trecho.
Trecho 1 (
,
,
,
):
- Calculo de
e :
- Área molhada:
Como
,
- Perímetro molhado:
- Raio hidráulico:
- Vazão por Manning:
Trecho 2 (
,
,
,
):
-
Como a razão
é a mesma, os ângulos serão os mesmos: . -
Área molhada:
- Perímetro molhado:
- Raio hidráulico:
- Vazão por Manning:
Como os tubos estão em série a vazão do sistema deve satisfazer ambas as seções; portanto a vazão máxima admissível é a menor das duas vazões calculadas:
Arredondando com 2 ou 3 algarismos significativos,
.
Passo 5
Cálculo das vazões correspondentes à lâmina mínima
(e verificação da restrição de velocidade mínima
).
Trecho 1 (
,
,
,
):
- Calculo de
e :
- Área molhada:
- Perímetro molhado:
- Raio hidráulico:
- Vazão por Manning:
Trecho 2 (
,
,
,
):
-
Com a mesma razão
temos os mesmos ângulos: . -
Área molhada:
- Perímetro molhado:
- Raio hidráulico:
- Vazão por Manning:
Interpretação: para que a lâmina seja pelo menos
em ambos os trechos a vazão do sistema tem que ser pelo menos o valor que faz cada trecho atingir essa lâmina; portanto a exigência em série é:
Agora verifico a restrição de velocidade mínima
. Conforme explicado no Passo 2, para cada trecho eu poderia achar o
que produziria
usando
e daí obter a área correspondente e
. Uma verificação rápida mostra:
- Para o trecho 1: calculando
requerido para ,
que é muito menor que
obtido para
(que era
). Isso significa que a velocidade
ocorre para uma lâmina bem menor que
, portanto a restrição de velocidade mínima não é mais rígida que a restrição de lâmina mínima no trecho 1 (isto é, a condição de
exige uma vazão maior).
- Para o trecho 2: similarmente,
que é ligeiramente menor que
em
(que era
), então também aqui o requisito de lâmina mínima domina (gera vazão maior). Portanto a restrição de velocidade mínima não é a limitante para a vazão mínima.
Conclusão do passo: a vazão mínima admissível é a maior das vazões exigidas pelas lâminas mínimas em cada trecho, ou seja