Um trecho de um sistema de drenagem de esgotos sanitários é constituído por duas canalizações em série, com as seguintes características:
Trecho 1: D1 =150 \mathrm{~mm}, \mathrm{Io}=0,060 \mathrm{~m} / \mathrm{m};
Trecho 2: \mathrm{D} 2=200 \mathrm{~mm} ; \mathrm{Io}=0,007 \mathrm{~m} / \mathrm{m} ;
Determine a máxima e a mínima vazões no trecho para que se verifiquem as seguintes condições de norma:
  • Máxima lâmina d’água: \mathrm{y}=0,75 \mathrm{D} e Mínima lâmina d’água: \mathrm{y}=0,20 \mathrm{D}
  • Máxima velocidade: \mathrm{V}=4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e Mínima velocidade: \mathrm{V}=0,50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
Coef. de rugosidade de manning \mathrm{n}=0,013.
Resp.: Qmáx =0,025 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} ; Qmín =0,0033 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a vazão máxima e a vazão mínima que podem existir no trecho em série, respeitando simultaneamente as restrições de lâmina d’água e de velocidade para cada trecho. Dados fornecidos (tudo em SI, já converti diâmetros para metros onde necessário):
  • Trecho 1: \;D_1=150\\ \mathrm{mm}=0{,}150\\ \mathrm{m}, \;I_{o1}=0{,}060.
  • Trecho 2: \;D_2=200\\ \mathrm{mm}=0{,}200\\ \mathrm{m}, \;I_{o2}=0{,}007.
  • Coeficiente de Manning: \;n=0{,}013.
  • Restrições de lâmina: mínima \;y_{\min}=0{,}20D e máxima \;y_{\max}=0{,}75D.
  • Restrições de velocidade: mínima \;V_{\min}=0{,}50\\ \mathrm{m/s} e máxima \;V_{\max}=4{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Observações importantes sobre o que se pede (para que eu não me perca depois):
  • Os dois trechos estão em série, logo a vazão Q é a mesma nos dois trechos. Portanto a vazão admissível deve satisfazer as restrições em ambos os tubos simultaneamente.
  • Assim, a vazão máxima admissível será o menor (mínimo) entre as vazões máximas permitidas por cada condição em cada trecho; a vazão mínima admissível será o maior (máximo) entre as vazões mínimas exigidas por cada condição em cada trecho.
    A resolução numérica começará no Passo 2.

Passo 2

Apresento as fórmulas e conceitos que vou usar (explicando cada símbolo):
  • Equação de Manning para vazão em conduto parcialmente cheio:
Q=\frac{1}{n}\;A\;R_h^{2/3}\;S^{1/2}
onde
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^3/s});
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional);
  • A é a área molhada da seção ( \mathrm{m^2});
  • R_h é o raio hidráulico, definido por R_h=\dfrac{A}{P} ( \mathrm{m});
  • P é o perímetro molhado ( \mathrm{m});
  • S é a declividade (no enunciado chamada de I_o).
  • Para um tubo circular parcialmente cheio (raio do tubo \;R_p=\dfrac{D}{2}) com lâmina y (altura da água medida a partir do fundo), uso a representação por ângulo central \alpha (em radianos):
    • primeiro defino \theta=\operatorname{arccos}\!\bigg(\dfrac{R_p-y}{R_p}\bigg) e \alpha=2\theta.
    • área molhada:
    A=\frac{R_p^{2}}{2}\,(\alpha-\sin\alpha)
    • perímetro molhado:
    P=R_p\,\alpha
    • raio hidráulico:
    R_h=\frac{A}{P}.
  • Relação entre velocidade média e raio hidráulico por Manning:
V=\frac{1}{n}\;R_h^{2/3}\;S^{1/2}
e lembrando que \;Q=V\cdot A.
Estratégia para aplicar as restrições:
  • Para a restrição de lâmina y (por exemplo y=0{,}75D ou y=0{,}20D): eu calculo A e R_h correspondentes e uso Manning para obter a vazão correspondente Q.
  • Para a restrição de velocidade V (por exemplo V=4{,}0\\ \mathrm{m/s} ou V=0{,}5\\ \mathrm{m/s}): primeiro observo que a equação de Manning dá V em função de R_h (e de S e n). Posso obter o R_h que produziria essa V resolvendo
R_h=\Big(\!nV/S^{1/2}\Big)^{3/2}.
Com esse R_h eu teria que encontrar a profundidade y que gera esse R_h (normalmente por método numérico), e então obter A e Q=V\cdot A. Porém antes de fazer isso, sempre verifico se a velocidade limite é maior ou menor que a velocidade quando o tubo está cheio (se V_{\lim} for maior que V no escoamento cheio, essa restrição de velocidade não é o limitante).
Vou então calcular, para cada trecho, as vazões correspondentes às lâminas extremas e verificar as restrições de velocidade.

Passo 3

Cálculo das velocidades quando o tubo está totalmente cheio (para saber se V_{\max}=4{,}0\\ \mathrm{m/s} é limitante):
  • Fórmula para escoamento cheio: usar R_h na condição cheia. Para um tubo cheio R_h=D/4.
Trecho 1 ( D_1=0{,}150\\ \mathrm{m}, S_1=0{,}060):
R_{h1,\text{cheio}}=\frac{D_1}{4}=\frac{0{,}150}{4}=0{,}0375\\ \mathrm{m}.
V_{1,\text{cheio}}=\frac{1}{n}\,R_{h1,\text{cheio}}^{2/3}\,S_1^{1/2} =\frac{1}{0{,}013}\,(0{,}0375)^{2/3}\,(0{,}060)^{1/2}\approx 2{,}11\\ \mathrm{m/s}.
Trecho 2 ( D_2=0{,}200\\ \mathrm{m}, S_2=0{,}007):
R_{h2,\text{cheio}}=\frac{D_2}{4}=\frac{0{,}200}{4}=0{,}0500\\ \mathrm{m}.
V_{2,\text{cheio}}=\frac{1}{0{,}013}\,(0{,}0500)^{2/3}\,(0{,}007)^{1/2}\approx 0{,}875\\ \mathrm{m/s}.
Conclusão desta verificação: ambos os valores de V_{\text{cheio}} são muito menores que V_{\max}=4{,}0\\ \mathrm{m/s}. Logo a restrição de velocidade máxima 4{,}0\\ \mathrm{m/s} nunca será atingida — mesmo com o tubo cheio a velocidade é menor — portanto a velocidade máxima não limita a vazão máxima. Para a vazão máxima só precisa considerar a lâmina máxima y=0{,}75D.

Passo 4

Cálculo das vazões correspondentes a y=0{,}75D em cada trecho (usar fórmula de segmento circular e Manning). Faço passo a passo para cada trecho.
Trecho 1 ( D_1=0{,}150\\ \mathrm{m}, R_{p1}=D_1/2=0{,}075\\ \mathrm{m}, y_1=0{,}75D_1=0{,}1125\\ \mathrm{m}, S_1=0{,}060):
  • Calculo de \theta e \alpha:
\cos\theta=\frac{R_{p1}-y_1}{R_{p1}}=\frac{0{,}075-0{,}1125}{0{,}075}=-0{,}5,
\theta=\operatorname{arccos}(-0{,}5)=2{,}094395\\ \mathrm{rad},\qquad \alpha=2\theta=4{,}18879\\ \mathrm{rad}.
  • Área molhada:
A_1=\frac{R_{p1}^{2}}{2}\,(\alpha-\sin\alpha) =\frac{0{,}075^{2}}{2}\,(4{,}18879-\sin 4{,}18879).
Como \sin 4{,}18879=-0{,}8660254,
A_1=0{,}0028125\cdot(4{,}18879+0{,}8660254)=0{,}0028125\cdot5{,}054815\approx 0{,}01422\\ \mathrm{m^2}.
  • Perímetro molhado:
P_1=R_{p1}\,\alpha=0{,}075\cdot4{,}18879\approx 0{,}31416\\ \mathrm{m}.
  • Raio hidráulico:
R_{h1}=\frac{A_1}{P_1}\approx\frac{0{,}01422}{0{,}31416}\approx 0{,}04529\\ \mathrm{m}.
  • Vazão por Manning:
Q_{1,y=0{,}75D}=\frac{1}{n}\;A_1\;R_{h1}^{2/3}\;S_1^{1/2} \approx\frac{1}{0{,}013}\cdot0{,}01422\cdot(0{,}04529)^{2/3}\cdot(0{,}060)^{1/2}\approx 0{,}03407\\ \mathrm{m^3/s}.
Trecho 2 ( D_2=0{,}200\\ \mathrm{m}, R_{p2}=0{,}100\\ \mathrm{m}, y_2=0{,}75D_2=0{,}150\\ \mathrm{m}, S_2=0{,}007):
  • Como a razão y/D é a mesma, os ângulos serão os mesmos: \alpha=4{,}18879\\ \mathrm{rad}.
  • Área molhada:
A_2=\frac{R_{p2}^{2}}{2}\,(\alpha-\sin\alpha) =\frac{0{,}100^{2}}{2}\cdot5{,}054815=0{,}005\cdot5{,}054815\approx 0{,}025274\\ \mathrm{m^2}.
  • Perímetro molhado:
P_2=R_{p2}\,\alpha=0{,}100\cdot4{,}18879\approx 0{,}41888\\ \mathrm{m}.
  • Raio hidráulico:
R_{h2}=\frac{A_2}{P_2}\approx\frac{0{,}025274}{0{,}41888}\approx 0{,}06036\\ \mathrm{m}.
  • Vazão por Manning:
Q_{2,y=0{,}75D}=\frac{1}{n}\;A_2\;R_{h2}^{2/3}\;S_2^{1/2} \approx\frac{1}{0{,}013}\cdot0{,}025274\cdot(0{,}06036)^{2/3}\cdot(0{,}007)^{1/2}\approx 0{,}02501\\ \mathrm{m^3/s}.
Como os tubos estão em série a vazão do sistema deve satisfazer ambas as seções; portanto a vazão máxima admissível é a menor das duas vazões calculadas:
Q_{\max}=\min\big(Q_{1,y=0{,}75D},\,Q_{2,y=0{,}75D}\big)=\min(0{,}03407,\;0{,}02501)=0{,}02501\\ \mathrm{m^3/s}.
Arredondando com 2 ou 3 algarismos significativos, \;Q_{\max}\approx 0{,}025\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 5

Cálculo das vazões correspondentes à lâmina mínima y=0{,}20D (e verificação da restrição de velocidade mínima V_{\min}=0{,}5\\ \mathrm{m/s}).
Trecho 1 ( D_1=0{,}150\\ \mathrm{m}, R_{p1}=0{,}075\\ \mathrm{m}, y_1=0{,}20D_1=0{,}030\\ \mathrm{m}, S_1=0{,}060):
  • Calculo de \theta e \alpha:
\cos\theta=\frac{R_{p1}-y_1}{R_{p1}}=\frac{0{,}075-0{,}030}{0{,}075}=0{,}6,
\theta=\operatorname{arccos}(0{,}6)=0{,}927295\\ \mathrm{rad},\qquad \alpha=2\theta=1{,}854590\\ \mathrm{rad}.
  • Área molhada:
A_1=\frac{0{,}075^{2}}{2}\,(1{,}85459-\sin1{,}85459).
\sin1{,}85459\approx 0{,}9600, logo
A_1\approx 0{,}0028125\cdot(1{,}85459-0{,}9600)=0{,}0028125\cdot0{,}89459\approx 0{,}002515\\ \mathrm{m^2}.
  • Perímetro molhado:
P_1=0{,}075\cdot1{,}85459\approx 0{,}13909\\ \mathrm{m}.
  • Raio hidráulico:
R_{h1}=\frac{A_1}{P_1}\approx\frac{0{,}002515}{0{,}13909}\approx 0{,}01809\\ \mathrm{m}.
  • Vazão por Manning:
Q_{1,y=0{,}20D}=\frac{1}{0{,}013}\;0{,}002515\;(0{,}01809)^{2/3}\;(0{,}060)^{1/2}\approx 0{,}003274\\ \mathrm{m^3/s}.
Trecho 2 ( D_2=0{,}200\\ \mathrm{m}, R_{p2}=0{,}100\\ \mathrm{m}, y_2=0{,}20D_2=0{,}040\\ \mathrm{m}, S_2=0{,}007):
  • Com a mesma razão y/D=0{,}20 temos os mesmos ângulos: \alpha=1{,}85459\\ \mathrm{rad}.
  • Área molhada:
A_2=\frac{0{,}100^{2}}{2}\,(1{,}85459-\sin1{,}85459) =0{,}005\cdot0{,}89459\approx 0{,}004473\\ \mathrm{m^2}.
  • Perímetro molhado:
P_2=0{,}100\cdot1{,}85459\approx 0{,}18546\\ \mathrm{m}.
  • Raio hidráulico:
R_{h2}=\frac{A_2}{P_2}\approx\frac{0{,}004473}{0{,}18546}\approx 0{,}02412\\ \mathrm{m}.
  • Vazão por Manning:
Q_{2,y=0{,}20D}=\frac{1}{0{,}013}\;0{,}004473\;(0{,}02412)^{2/3}\;(0{,}007)^{1/2}\approx 0{,}002409\\ \mathrm{m^3/s}.
Interpretação: para que a lâmina seja pelo menos 0{,}20D em ambos os trechos a vazão do sistema tem que ser pelo menos o valor que faz cada trecho atingir essa lâmina; portanto a exigência em série é:
Q \ge \max\big(Q_{1,y=0{,}20D},\,Q_{2,y=0{,}20D}\big)=\max(0{,}003274,\;0{,}002409)=0{,}003274\\ \mathrm{m^3/s}.
Agora verifico a restrição de velocidade mínima V_{\min}=0{,}5\\ \mathrm{m/s}. Conforme explicado no Passo 2, para cada trecho eu poderia achar o R_h que produziria V=0{,}5 usando
R_h=\Big(\frac{nV}{S^{1/2}}\Big)^{3/2},
e daí obter a área correspondente e Q=V\cdot A. Uma verificação rápida mostra:
  • Para o trecho 1: calculando R_h requerido para V=0{,}5,
R_{h,\text{req},1}=\Big(\frac{0{,}013\cdot0{,}5}{(0{,}060)^{1/2}}\Big)^{3/2}\approx 0{,}00434\\ \mathrm{m},
que é muito menor que R_{h1} obtido para y=0{,}20D (que era 0{,}01809\\ \mathrm{m}). Isso significa que a velocidade 0{,}5\\ \mathrm{m/s} ocorre para uma lâmina bem menor que 0{,}20D, portanto a restrição de velocidade mínima não é mais rígida que a restrição de lâmina mínima no trecho 1 (isto é, a condição de y\ge0{,}20D exige uma vazão maior).
  • Para o trecho 2: similarmente,
R_{h,\text{req},2}=\Big(\frac{0{,}013\cdot0{,}5}{(0{,}007)^{1/2}}\Big)^{3/2}\approx 0{,}0218\\ \mathrm{m},
que é ligeiramente menor que R_{h2} em y=0{,}20D (que era 0{,}02412\\ \mathrm{m}), então também aqui o requisito de lâmina mínima domina (gera vazão maior). Portanto a restrição de velocidade mínima não é a limitante para a vazão mínima.
Conclusão do passo: a vazão mínima admissível é a maior das vazões exigidas pelas lâminas mínimas em cada trecho, ou seja
Q_{\min}=\max(0{,}003274,\;0{,}002409)=0{,}003274\\ \mathrm{m^3/s}\approx 0{,}0033\\ \mathrm{m^3/s}.

Resposta

Q_{\max}=0{,}025\\ \mathrm{m^3/s}
Q_{\min}=0{,}0033\\ \mathrm{m^3/s}

Exercícios relacionados