Calcular a TIR dos seguintes fluxos de caixa:
Ano Fluxo de Caixa
0 -1000
1 700
2 1200

Passo 1

O enunciado pede para calcular a Taxa Interna de Retorno (TIR) do seguinte fluxo de caixa:
Ano 0: -1000
Ano 1: 700
Ano 2: 1200
Pergunta clara: qual é a taxa r tal que o valor presente líquido (VPL) desses fluxos seja zero?
Informações relevantes dadas:
\text{fluxo no tempo }0 = -1000,\quad \text{fluxo no tempo }1 = 700,\quad \text{fluxo no tempo }2 = 1200.

Passo 2

Definição e fórmula da TIR: a TIR é a taxa r que zera o VPL. A expressão do VPL para este fluxo é
\text{VPL}(r) = -1000 + \frac{700}{1+r} + \frac{1200}{(1+r)^2}.
A TIR é o valor de r que satisfaz
-1000 + \frac{700}{1+r} + \frac{1200}{(1+r)^2} = 0.
Explicando cada termo: -1000 é o desembolso inicial; \frac{700}{1+r} é o valor presente do recebimento no ano 1; \frac{1200}{(1+r)^2} é o valor presente do recebimento no ano 2. A incógnita r é a taxa anual procurada.

Passo 3

Para resolver a equação com denominadores, multiplicamos ambos os lados por (1+r)^2 para obter um polinômio em 1+r. Seja
z := 1+r.
Substituindo e multiplicando por z^2 temos
0 = -1000 z^2 + 700 z + 1200.
Multiplicando ambos os lados por -1:
0 = 1000 z^2 - 700 z - 1200.
Para simplificar, dividimos por 100:
0 = 10 z^2 - 7 z - 12.

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática
10 z^2 - 7 z - 12 = 0
usando a fórmula quadrática. Primeiro o discriminante:
\Delta = (-7)^2 - 4\cdot 10 \cdot (-12) = 49 + 480 = 529.
A raiz quadrada de \Delta é
\sqrt{\Delta} = \sqrt{529} = 23.
As raízes para z são
z = \frac{7 \pm 23}{20}.
Calculando cada uma:
z_1 = \frac{7+23}{20} = \frac{30}{20} = 1,5,
z_2 = \frac{7-23}{20} = \frac{-16}{20} = -0,8.

Passo 5

Voltando para r usando r = z-1:
r_1 = 1,5 - 1 = 0,5 \quad\text{(ou seja \(50\%\))},
r_2 = -0,8 - 1 = -1,8 \quad\text{(ou seja \(-180\%\))}.
Interpretação: financeiramente faz sentido uma TIR maior que -100\% (pois r=-1 tornaria denominadores nulos). A raiz -1,8 corresponde a um r menor que -1 (não é uma taxa economicamente aceita), além disso o padrão de sinais do fluxo (- + +) normalmente gera exatamente uma raiz positiva relevante. Portanto a TIR economicamente relevante é
r = 0,5 = 50\%.

Passo 6

Verificação rápida (checar conta): com r=0,5,
\frac{700}{1+0,5} = \frac{700}{1,5} = 466,\overline{6},
\frac{1200}{(1+0,5)^2} = \frac{1200}{2,25} = 533,\overline{3},
soma dos valores presentes =466,\overline{6}+533,\overline{3}=1000, logo VPL = -1000+1000 = 0. Confere certinho.

Resposta

r = 0,5 = 50\%

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