EXTRA
Mostre que se
para todo
, então
, onde
.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte hipótese e pede uma igualdade entre integrais.
- Hipótese:
satisfaz para todo . - Pedido: Mostrar que, para qualquer
,
Passo 2
Primeiro vamos tirar uma consequência simples e útil da hipótese: para todo
e todo
vale
. Prova por indução (é bem direta):
- Base
: é exatamente a hipótese . - Passo indutivo: suponha
. Então
onde na penúltima igualdade usamos a hipótese inicial
aplicada a
. Assim a propriedade vale para todo
.
Passo 3
Agora, pegue um
qualquer no intervalo
. Se definirmos
(observe que
), então
e, pela propriedade do passo anterior com
,
Ou seja, para todo
temos
.
Passo 4
Usamos a igualdade
dentro da integral e fazemos a mudança de variável simples
. Primeiro escrevemos
Agora faça a substituição
. Então
. Quando
temos
; quando
temos
. Portanto a integral transforma-se em
Como
é só uma variável de integração, podemos renomeá-la para
sem mudar o valor da integral, obtendo
Passo 5
Juntando os passos anteriores concluímos a igualdade desejada para todo
: