EXTRA [1,0 \mathrm{pt}] Mostre que se f(x+1)=f(x) para todo x \in \mathbb{R}, então \int_{n}^{n+1} f(t) d t=\int_{0}^{1} f(x) d x, onde n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte hipótese e pede uma igualdade entre integrais.
  • Hipótese: f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} satisfaz f(x+1)=f(x) para todo x\in\mathbb{R}.
  • Pedido: Mostrar que, para qualquer n\in\mathbb{N},
\int_{n}^{n+1} f(t)\,dt=\int_{0}^{1} f(x)\,dx.

Passo 2

Primeiro vamos tirar uma consequência simples e útil da hipótese: para todo x\in\mathbb{R} e todo k\in\mathbb{N} vale f(x+k)=f(x). Prova por indução (é bem direta):
  • Base k=1: é exatamente a hipótese f(x+1)=f(x).
  • Passo indutivo: suponha f(x+k)=f(x). Então
f(x+(k+1))=f\big((x+k)+1\big)=f(x+k)=f(x),
onde na penúltima igualdade usamos a hipótese inicial f(y+1)=f(y) aplicada a y=x+k. Assim a propriedade vale para todo k\in\mathbb{N}.

Passo 3

Agora, pegue um t qualquer no intervalo [n,n+1]. Se definirmos x=t-n (observe que x\in[0,1]), então t=x+n e, pela propriedade do passo anterior com k=n,
f(t)=f(x+n)=f(x)=f(t-n).
Ou seja, para todo t\in[n,n+1] temos f(t)=f(t-n).

Passo 4

Usamos a igualdade f(t)=f(t-n) dentro da integral e fazemos a mudança de variável simples u=t-n. Primeiro escrevemos
\int_{n}^{n+1} f(t)\,dt=\int_{n}^{n+1} f(t-n)\,dt.
Agora faça a substituição u=t-n. Então du=dt. Quando t=n temos u=0; quando t=n+1 temos u=1. Portanto a integral transforma-se em
\int_{n}^{n+1} f(t-n)\,dt=\int_{0}^{1} f(u)\,du.
Como u é só uma variável de integração, podemos renomeá-la para x sem mudar o valor da integral, obtendo
\int_{0}^{1} f(u)\,du=\int_{0}^{1} f(x)\,dx.

Passo 5

Juntando os passos anteriores concluímos a igualdade desejada para todo n\in\mathbb{N}:
\int_{n}^{n+1} f(t)\,dt=\int_{0}^{1} f(x)\,dx.

Resposta

\int_{n}^{n+1} f(t)\,dt=\int_{0}^{1} f(x)\,dx

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