Calcular a TIR dos seguintes fluxos de caixa:
Ano Fluxo de Caixa
0 -100
1 200
2 150

Passo 1

O enunciado pede para calcular a TIR (taxa interna de retorno) do fluxo de caixa dado.
As informações fornecidas são:
Ano 0: -100
Ano 1: 200
Ano 2: 150

Passo 2

O que é a TIR aqui (explicação didática e simples): a TIR é a taxa de juros (r) que faz o Valor Presente Líquido (VPL ou NPV) do projeto igual a zero. Em palavras: é o r tal que a soma dos fluxos de caixa descontados pelo fator (1+r)^t se iguala a zero. A fórmula geral para este problema é
-100+\frac{200}{(1+r)}+\frac{150}{(1+r)^2}=0.
Essa é a equação que vamos resolver para encontrar r.

Passo 3

Para resolver mais facilmente, fazemos a substituição
v=\frac{1}{1+r},
que é o fator de desconto por um período. Com essa substituição a equação fica polinomial em v:
-100+200v+150v^2=0.
Organizando em forma padrão:
150v^2+200v-100=0.
Podemos dividir toda a equação por 50 para simplificar:
3v^2+4v-2=0.

Passo 4

Agora vamos resolver a equação quadrática \;3v^2+4v-2=0\; usando a fórmula de Bhaskara. Para uma quadrática av^2+bv+c=0 a solução é
v=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Aqui a=3, b=4, c=-2. Calculamos o discriminante:
\Delta = b^2-4ac = 4^2-4\cdot3\cdot(-2)=16+24=40.
Portanto
v=\frac{-4\pm\sqrt{40}}{6}=\frac{-4\pm 2\sqrt{10}}{6}=\frac{-2\pm\sqrt{10}}{3}.

Passo 5

Avaliação das raízes: temos duas soluções para v,
v_1=\frac{-2+\sqrt{10}}{3},\qquad v_2=\frac{-2-\sqrt{10}}{3}.
Mas v=\dfrac{1}{1+r} deve ser positivo (pois 1+r>0 para taxas reais usuais). A raiz v_2 é negativa (porque -2-\sqrt{10}<0), então descartamos v_2. Ficamos com
v=\frac{-2+\sqrt{10}}{3}.

Passo 6

Agora voltamos para r. Como v=\dfrac{1}{1+r}, temos
1+r=\frac{1}{v}\quad\Rightarrow\quad r=\frac{1}{v}-1.
Substituindo v=\dfrac{-2+\sqrt{10}}{3} obtemos a expressão exata
r=\frac{3}{-2+\sqrt{10}}-1.
Para fins práticos de prova (e para conferir com uma calculadora), calculamos numericamente v e r:
v\approx 0,3874258867,
portanto
r=\frac{1}{v}-1\approx 1,5819888975,
ou seja, em porcentagem cerca de 158,20\%.

Passo 7

Verificação rápida (intuição): a equação original era -100+200v+150v^2=0. Como v foi encontrada resolvendo exatamente essa equação, a substituição garante VPL igual a zero — logo r encontrado é realmente a TIR. Em termos práticos, a TIR muito alta faz sentido porque os fluxos positivos nos anos seguintes são grandes em relação ao investimento inicial.

Passo 8

Dicas para a prova (prático e rápido): ao ver um fluxo curto (poucos anos) com denominadores, faça a substituição v=1/(1+r) e transforme em polinômio. Se virar quadrática, aplique Bhaskara — é direto e rápido sem calculadora (basta simplificar coeficientes). Sempre descarte raízes que impossibilitam v>0.

Resposta

r \approx 158{,}20\%

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