Calcular a TIR dos seguintes fluxos de caixa:
Ano Fluxo de Caixa
0 -400
1 400
2 1000
0 -400
1 400
2 1000
Passo 1
O enunciado pede: calcular a TIR (Taxa Interna de Retorno) do fluxo de caixa dado.
Dados fornecidos (copiados do enunciado):
Dados fornecidos (copiados do enunciado):
Ou seja, os valores são
no ano
,
no ano
e
no ano
.
Passo 2
O que é pedir a TIR? A definição prática que vamos usar: a TIR é a taxa
que zera o Valor Presente Líquido (VPL) do projeto. Em fórmulas: queremos
tal que
Explicando devagar: cada termo
é o valor presente desse fluxo descontado à taxa
. Somando os valores presentes e incluindo o investimento inicial (negativo) obtemos o VPL; a TIR é a taxa que faz esse VPL igual a zero.
Passo 3
Eliminar os denominadores para obter uma equação em polinômio: multiplico ambos os lados por
(isso é permitido desde que depois verifiquemos
, o que não será caso relevante aqui). Assim:
Agora eu vou expandir e simplificar passo a passo.
Passo 4
Expandindo
e distribuindo:
Multiplicando:
Agrupando termos semelhantes (observe que
cancela):
Multiplico por
para ficar com coeficiente positivo do quadrado:
Divido por
para simplificar os números:
Agora temos uma equação quadrática padrão
com
,
,
.
Passo 5
Resolver essa quadrática usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Lembrete da fórmula: para
,
onde
é o discriminante e indica se as raízes são reais (
), duplas (
) ou complexas (
).
Aqui,
,
,
. Calculo o discriminante:
Como
, teremos duas raízes reais distintas. Aplico a fórmula:
Passo 6
Calculo numérico de
. Observação:
. Aproximação numérica:
Então as duas raízes são
Em termos percentuais:
Passo 7
Interpretação e escolha da TIR relevante: financeiramente, procuramos normalmente a TIR positiva (taxa de retorno). Aqui existem duas raízes reais porque a equação quadrática apareceu ao multiplicar por
; porém, com um fluxo que é inicialmente negativo e depois sempre positivo (mudança de sinal única), existe exatamente uma raiz positiva - essa é a TIR economicamente relevante. Logo escolhemos
Passo 8
Verificação rápida (plugando
na equação original) para conferir que o VPL dá aproximadamente zero: fator de desconto para ano 1 é
, então
; fator para ano 2 é
, então
. Soma dos valores presentes
, menos o investimento inicial
deixa VPL próximo de zero (diferença por arredondamento). Isso confirma a raiz positiva.