Calcular a TIR dos seguintes fluxos de caixa:
Ano Fluxo de Caixa
0 -400
1 400
2 1000

Passo 1

O enunciado pede: calcular a TIR (Taxa Interna de Retorno) do fluxo de caixa dado.
Dados fornecidos (copiados do enunciado):
\begin{array}{c|r} \text{Ano} & \text{Fluxo de Caixa} \\hline 0 & -400 \\\\ 1 & 400 \\\\ 2 & 1000 \end{array}
Ou seja, os valores são -400 no ano 0, 400 no ano 1 e 1000 no ano 2.

Passo 2

O que é pedir a TIR? A definição prática que vamos usar: a TIR é a taxa r que zera o Valor Presente Líquido (VPL) do projeto. Em fórmulas: queremos r tal que
-400+\frac{400}{1+r}+\frac{1000}{(1+r)^2}=0.
Explicando devagar: cada termo \dfrac{\text{fluxo}}{(1+r)^{\text{ano}}} é o valor presente desse fluxo descontado à taxa r. Somando os valores presentes e incluindo o investimento inicial (negativo) obtemos o VPL; a TIR é a taxa que faz esse VPL igual a zero.

Passo 3

Eliminar os denominadores para obter uma equação em polinômio: multiplico ambos os lados por (1+r)^2 (isso é permitido desde que depois verifiquemos r\neq -1, o que não será caso relevante aqui). Assim:
-400(1+r)^2 + 400(1+r) + 1000 = 0.
Agora eu vou expandir e simplificar passo a passo.

Passo 4

Expandindo (1+r)^2 = 1+2r+r^2 e distribuindo:
-400(1+2r+r^2) + 400(1+r) + 1000 = 0.
Multiplicando:
-400 -800r -400r^2 + 400 + 400r + 1000 = 0.
Agrupando termos semelhantes (observe que -400+400 cancela):
-400r^2 -400r + 1000 = 0.
Multiplico por -1 para ficar com coeficiente positivo do quadrado:
400r^2 + 400r - 1000 = 0.
Divido por 100 para simplificar os números:
4r^2 + 4r - 10 = 0.
Agora temos uma equação quadrática padrão ar^2+br+c=0 com a=4, b=4, c=-10.

Passo 5

Resolver essa quadrática usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Lembrete da fórmula: para ar^2+br+c=0,
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},
onde b^2-4ac é o discriminante e indica se as raízes são reais ( >0), duplas ( =0) ou complexas ( <0).
Aqui, a=4, b=4, c=-10. Calculo o discriminante:
\Delta = b^2-4ac = 4^2 - 4\cdot 4 \cdot (-10) = 16 + 160 = 176.
Como \Delta>0, teremos duas raízes reais distintas. Aplico a fórmula:
r=\frac{-4\pm\sqrt{176}}{2\cdot 4} = \frac{-4\pm\sqrt{176}}{8}.

Passo 6

Calculo numérico de \sqrt{176}. Observação: \sqrt{176}=\sqrt{16\cdot 11}=4\sqrt{11}. Aproximação numérica:
\sqrt{176}\approx 13,266499.
Então as duas raízes são
r_1=\frac{-4+13,266499}{8}\approx\frac{9,266499}{8}\approx 1,158312,
r_2=\frac{-4-13,266499}{8}\approx\frac{-17,266499}{8}\approx -2,158312.
Em termos percentuais:
r_1\approx 115,831\%,\qquad r_2\approx -215,831\%.

Passo 7

Interpretação e escolha da TIR relevante: financeiramente, procuramos normalmente a TIR positiva (taxa de retorno). Aqui existem duas raízes reais porque a equação quadrática apareceu ao multiplicar por (1+r)^2; porém, com um fluxo que é inicialmente negativo e depois sempre positivo (mudança de sinal única), existe exatamente uma raiz positiva - essa é a TIR economicamente relevante. Logo escolhemos
r \approx 1,158312\\ (\text{ou }115,831\%).

Passo 8

Verificação rápida (plugando r\approx 1,158312 na equação original) para conferir que o VPL dá aproximadamente zero: fator de desconto para ano 1 é \dfrac{1}{1+r}\approx\dfrac{1}{2,158312}\approx 0,46338, então 400\cdot 0,46338\approx 185,35; fator para ano 2 é (0,46338)^2\approx 0,21472, então 1000\cdot 0,21472\approx 214,72. Soma dos valores presentes 185,35+214,72\approx 400,07, menos o investimento inicial 400 deixa VPL próximo de zero (diferença por arredondamento). Isso confirma a raiz positiva.

Resposta

\text{TIR} \approx 1,158312 (ou \;115,831\%)

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