Encontre a solução geral de cada equação diferencial abaixo.
x y^prime+2 y=sen x, x>0

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
x,y' + 2y = sin x, x>0
O conteúdo é equação linear e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Para aplicar o método, primeiro colocamos na forma padrão dividindo tudo por x:
y' + 2x,y = sin xx
Aqui identificamos p(x)=2/x e q(x)=sin x/x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=e^integral p(x),dx=e^integral 2x,dx=e^2ln x=x^2
Multiplicamos a equação original por x^2.

Passo 4

O lado esquerdo vira derivada de produto e o direito fica mais simples:
(x^2 y)' = xsin x
Integramos ambos os lados em relação a x. Para integral xsin x,dx usamos integração por partes com u=x e dv=sin x,dx, resultando em
integral xsin x,dx = -xcos x + sin x

Passo 5

Da integração obtemos
x^2 y = -xcos x + sin x + C
Agora basta dividir por x^2 para isolar y.

Resposta

y = -xcos x + sin x + Cx^2

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