Usar a expansão em frações parciais para determinar a transformada inversa de Laplace do sinal:
X(s)=1(s-3)(s-2 j)(s+2 j)(s+2)^3

Passo 1

Enunciado: inverter a transformada de Laplace X(s)= 1(s-3)(s-2j)(s+2j)(s+2)^3. O conteúdo é expansão em frações parciais para polos simples reais, polos complexos simples e um polo real de ordem 3. Vamos usar Heaviside para poles simples e a fórmula de derivadas para polos múltiplos.

Passo 2

Decompondo X(s) em frações parciais, agrupando os polos complexos:
X(s)=As-3+Ds+Es^2+4+F1s+2+F2(s+2)^2+F3(s+2)^3

Passo 3

Para o polo simples em s=3, usa-se a regra de Heaviside:
A=limsto3(s-3)X(s)=1(3^2+4),(3+2)^3=113cdot125=11625

Passo 4

Para o polo de ordem 3 em s=-2 aplicamos a fórmula
$$F_3=\frac{1}{0!}\bigl[(s+2)^3X(s)\bigr]{s=-2},\quad F_2=\frac{1}{1!}\frac{d}{ds}\bigl[(s+2)^3X(s)\bigr]{s=-2},\quad F_1=\frac{1}{2!}\frac{d2}{ds2}\bigl[(s+2)^3X(s)\bigr]_{s=-2}.
$$
Calcula-se F3=10!l[(s+2)^3X(s)r]s=-2, F2=11!ddsl[(s+2)^3X(s)r]s=-2, F1=12!d^2ds^2l[(s+2)^3X(s)r]s=-2
e obtém-se
(s+2)^3X(s)=1(s-3)(s^2+4)

Passo 5

Para os polos complexos s= pm2j, primeiro obtemos as raízes:
$$B=\lim_{s\to2j}(s-2j)X(s)=\frac{5-j}{1664},\quad C=\lim_{s\to-2j}(s+2j)X(s)=\frac{5+j}{1664}.
B=limsto2j(s-2j)X(s)=5-j1664, C=limsto-2j(s+2j)X(s)=5+j1664 \frac{Ds+E}{s^2+4}=\frac{B}{s-2j}+\frac{C}{s+2j},$$
que dá
Ds+Es^2+4=Bs-2j+Cs+2j,

Passo 6

Agora aplicamos as transformadas inversas conhecidas:
As-3to A e^3t,
Ds+Es^2+4to Dcos(2t)+E2sin(2t),
F1s+2to F1 e^-2t,
F2(s+2)^2to F2,t,e^-2t,
– (\frac{F_3}{(s+2)^3}\to F_3,\frac{t2}{2},e{-2t}.]

Passo 7

Reunindo todos os termos temos a resposta final em t≥0:
x(t)=11625e^3t+5832cos(2t)+1832sin(2t)-538000e^-2t-7400t,e^-2t-180t^2e^-2t

Resposta

x(t)=\frac{1}{1625}e{3t}+\frac{5}{832}\cos(2t)+\frac{1}{832}\sin(2t)-\frac{53}{8000}e{-2t}-\frac{7}{400}t,e{-2t}-\frac{1}{80}t2e^{-2t}

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