Usar a expansão em frações parciais para determinar a transformada inversa de Laplace do sinal:
Passo 1
Enunciado: inverter a transformada de Laplace X(s)=
. O conteúdo é expansão em frações parciais para polos simples reais, polos complexos simples e um polo real de ordem 3. Vamos usar Heaviside para poles simples e a fórmula de derivadas para polos múltiplos.
Passo 2
Decompondo X(s) em frações parciais, agrupando os polos complexos:
Passo 3
Para o polo simples em s=3, usa-se a regra de Heaviside:
Passo 4
Para o polo de ordem 3 em s=-2 aplicamos a fórmula
$$F_3=\frac{1}{0!}\bigl[(s+2)^3X(s)\bigr]{s=-2},\quad F_2=\frac{1}{1!}\frac{d}{ds}\bigl[(s+2)^3X(s)\bigr]{s=-2},\quad F_1=\frac{1}{2!}\frac{d2}{ds2}\bigl[(s+2)^3X(s)\bigr]_{s=-2}.
$$
Calcula-se
e obtém-se
e obtém-se
Passo 5
Para os polos complexos s=
, primeiro obtemos as raízes:
$$B=\lim_{s\to2j}(s-2j)X(s)=\frac{5-j}{1664},\quad C=\lim_{s\to-2j}(s+2j)X(s)=\frac{5+j}{1664}.
que dá
Passo 6
Agora aplicamos as transformadas inversas conhecidas:
– ,
– ,
– ,
– ,
– (\frac{F_3}{(s+2)^3}\to F_3,\frac{t2}{2},e{-2t}.]
–
–
–
–
– (\frac{F_3}{(s+2)^3}\to F_3,\frac{t2}{2},e{-2t}.]
Passo 7
Reunindo todos os termos temos a resposta final em t≥0:
Resposta
x(t)=\frac{1}{1625}e{3t}+\frac{5}{832}\cos(2t)+\frac{1}{832}\sin(2t)-\frac{53}{8000}e{-2t}-\frac{7}{400}t,e{-2t}-\frac{1}{80}t2e^{-2t}