Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções
  1. y=k (constante)
  2. y=x
  3. y=x^6
  4. y=x^4-3 x^3+2 x+1
  5. y=2x
  6. y=raiz5 x
  7. y=raiz[3]2 x
  8. y=e^-x
  9. y=ln x
  10. y=3^2 x
  11. y=(x+1)^4
  12. y=x ln x
  13. y=e^-x^2
  14. y=0,4 x^0,1
  15. y=(1-x)^3
  16. y=-12 x^-2
  17. y=e^1x
  18. y=x e^-2 x
  19. y=1-x^3
  20. y=log (-x)

Passo 1

O exercício pede para calcular as três primeiras derivadas de 20 funções. O conteúdo envolve regras de derivação: derivada de constante, regra do poder, regra do produto, regra da cadeia, derivadas de exponencial e logarítmica. Vamos aplicar essas regras sistematicamente.

Passo 2

Para a função y = k (constante):
y' = 0
y'' = 0
y''' = 0

Passo 3

Para a função y = x:
y' = 1
y'' = 0
y''' = 0

Passo 4

Para a função y = x^6, usando a regra do poder dfracddxx^n = n x^n-1:
y' = 6x^5
y'' = 30x^4
y''' = 120x^3

Passo 5

Para a função y = x^4 - 3x^3 + 2x + 1:
y' = 4x^3 - 9x^2 + 2
y'' = 12x^2 - 18x
y''' = 24x - 18

Passo 6

Para a função y = tfrac2x = 2x^-1:
y' = -2x^-2 = -tfrac2x^2
y'' = 4x^-3 = tfrac4x^3
y''' = -12x^-4 = -tfrac12x^4

Passo 7

Para a função y = raiz5x = raiz5,x^1/2:
y' = tfracraiz52x^-1/2 = raiz52raizx
y'' = -tfracraiz54x^-3/2 = -raiz54x^3/2
y''' = tfrac3raiz58x^-5/2 = 3raiz58x^5/2

Passo 8

Para a função y = raiz[3]2x = 2^1/3x^1/3:
y' = tfrac2^1/33x^-2/3
y'' = -tfrac2^4/39x^-5/3
y''' = tfrac20,2^1/327x^-8/3

Passo 9

Para a função y = e^-x, usando dfracddxe^u=u'e^u:
y' = -e^-x
y'' = e^-x
y''' = -e^-x

Passo 10

Para a função y = ln x:
y' = tfrac1x
y'' = -tfrac1x^2
y''' = tfrac2x^3

Passo 11

Para a função y = 3^2x = e^2xln3:
y' = 2ln 3,3^2x
y'' = (2ln3)^23^2x
y''' = (2ln3)^33^2x

Passo 12

Para a função y = (x+1)^4:
y' = 4(x+1)^3
y'' = 12(x+1)^2
y''' = 24(x+1)

Passo 13

Para a função y = xln x, usando regra do produto:
y' = ln x + 1
y'' = tfrac1x
y''' = -tfrac1x^2

Passo 14

Para a função y = e^-x^2:
y' = -2x,e^-x^2
y'' = (4x^2-2)e^-x^2
y''' = (12x-8x^3)e^-x^2

Passo 15

Para a função y = 0,4x^0,1:
y' = 0,04x^-0,9
y'' = -0,036x^-1,9
y''' = 0,0684x^-2,9

Passo 16

Para a função y = (1-x)^3:
y' = -3(1-x)^2
y'' = 6(1-x)
y''' = -6

Passo 17

Para a função y = -tfrac12x^-2:
y' = x^-3
y'' = -3x^-4
y''' = 12x^-5

Passo 18

Para a função y = e^1/x:
y' = -x^-2e^1/x
y'' = l(2x^-3+x^-4r)e^1/x
y''' = -l(6x^-4+6x^-5+x^-6r)e^1/x

Passo 19

Para a função y = x e^-2x:
y' = (1-2x)e^-2x
y'' = 4(x-1)e^-2x
y''' = 4(3-2x)e^-2x

Passo 20

Para a função y = 1 - x^3:
y' = -3x^2
y'' = -6x
y''' = -6

Passo 21

Para a função y = ln(-x), com x<0:
y' = tfrac1x
y'' = -tfrac1x^2
y''' = tfrac2x^3

Resposta

As três primeiras derivadas de cada função estão listadas nos passos acima.

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