Calcule a área limitada pelas retas y=3 x, y=x e x+y=4;

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a área da região limitada pelas retas y=3x, y=x e x+y=4. Esse é um problema de geometria analítica: a gente vai encontrar os vértices dessa região resolvendo interseções de pares de retas e depois usar a fórmula de área de triângulo em coordenadas.

Passo 2

Para achar os vértices, resolvemos as interseções de cada par de retas:
  1. y=3x e y=x: igualando dá 3x=x x=0 y=0. Vértice (0,0).
  2. y=3x e x+y=4: substituindo y=3x em x+y=4 x+3x=4 x=1 y=3. Vértice (1,3).
  3. y=x e x+y=4: substituindo y=x em x+y=4 2x=4 x=2 y=2. Vértice (2,2).

Passo 3

Agora temos o triângulo com vértices (0,0), (1,3) e (2,2). A área de um triângulo cujos vértices são (x1,y1), (x2,y2) e (x3,y3) é dada por
Área = 12 l|x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)r| Á

Passo 4

Substituindo (x1,y1)=(0,0), (x2,y2)=(1,3) e (x3,y3)=(2,2):
Área = 12 l|0cdot(3-2) + 1cdot(2-0) + 2cdot(0-3)r| = 12 l|0 + 2 -6r| = 12 cdot 4 = 2 Á

Resposta

2

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