Calcule a área limitada por y=x^3-x^2-6 x e y=0;

Passo 1

Vamos calcular a área entre o gráfico de y = x^3 - x^2 - 6x e o eixo y=0. Esse problema envolve integração de função polinomial e precisamos usar raízes para determinar onde a função cruza o eixo x.

Passo 2

Primeiro encontramos as raízes da equação x^3 - x^2 - 6x = 0. Fatorando, temos:
x(x^2 - x - 6) = x(x-3)(x+2) = 0
Logo as raízes são x = -2, 0, 3. Para saber onde a função fica acima ou abaixo do eixo, escolhemos pontos testes em cada intervalo:
- Em (-2,0), por exemplo x=-1, f(-1)=4>0.
- Em (0,3), por exemplo x=1, f(1)=-6<0.
Isso diz que f(x) é positiva em [-2,0] e negativa em [0,3].

Passo 3

A área procurada é
$$\int_{-2}^0 (x^3 - x^2 - 6x),dx ;-
\int_{0}^3 (x^3 - x^2 - 6x),dx,$$
pois no segundo intervalo subtraímos a integral (função está abaixo do eixo) e usamos valor absoluto.

Passo 4

Agora achamos a primitiva de f(x)=x^3 - x^2 - 6x:
F(x) = integral (x^3 - x^2 - 6x),dx = x^44 - x^33 - 3x^2 + C
A seguir avaliamos em cada intervalo:
- integral-2^0 f(x),dx = F(0)-F(-2) = 0 - l((-2)^44 - (-2)^33 - 3(-2)^2r) = -l(4 + tfrac83 -12r) = 163
- integral0^3 f(x),dx = F(3)-F(0) = 3^44 - 3^33 - 3cdot3^2 = -tfrac634

Passo 5

Somando as áreas (lembrando o sinal), temos
Área = 163 - l(-634r) = 163 + 634 = 64 + 18912 = 25312Á

Resposta

25312

Exercícios relacionados