Calcular, usando a definição, a Transformada de Laplace da função
f(t)=sen^2(3 t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando a definição, a Transformada de Laplace de f(t)=sin^2(3t). O conteúdo é Transformada de Laplace pela definição Lf(t)=integral0^inftye^-stf(t),dt, e vamos precisar também de uma identidade trigonométrica para sin^2.

Passo 2

Para simplificar o integrando, usamos a identidade sin^2(theta)=tfrac1-cos(2theta)2. No nosso caso, theta=3t, então:
sin^2(3t)=1-cos(6t)2
Substituindo na definição da Transformada de Laplace, temos
$$\mathcal{L}{\sin2(3t)}=\int_0{\infty}e{-st}\sin2(3t),dt
=\frac12\int_0{\infty}e{-st},dt-\frac12\int_0{\infty}e{-st}\cos(6t),dt$$

Passo 3

Agora aplicamos fórmulas conhecidas de integrais impróprias para s>0:
integral0^inftye^-st,dt=1s
integral0^inftye^-stcos(6t),dt=ss^2+6^2=ss^2+36

Passo 4

Substituindo esses resultados, obtemos
$$\mathcal{L}{\sin^2(3t)}
=\frac12\biggl(\frac1s-\frac{s}{s^2+36}\biggr) Lsin^2(3t) =12gl(1s-ss^2+36gr)ãçã\frac12\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{s}{s2+36}\Bigr)=\frac12\frac{s2+36-s2}{s(s2+36)}=\frac{18}{s(s^2+36)}$$

Resposta

Lsin^2(3t)=18sl(s^2+36r), s>0

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