Calcular, usando a definição, a Transformada de Laplace da função
Passo 1
O enunciado pede para calcular, usando a definição, a Transformada de Laplace de
. O conteúdo é Transformada de Laplace pela definição
, e vamos precisar também de uma identidade trigonométrica para
.
Passo 2
Para simplificar o integrando, usamos a identidade
. No nosso caso,
, então:
Substituindo na definição da Transformada de Laplace, temos
$$\mathcal{L}{\sin2(3t)}=\int_0{\infty}e{-st}\sin2(3t),dt
=\frac12\int_0{\infty}e{-st},dt-\frac12\int_0{\infty}e{-st}\cos(6t),dt$$
Passo 3
Agora aplicamos fórmulas conhecidas de integrais impróprias para
:
Passo 4
Substituindo esses resultados, obtemos
$$\mathcal{L}{\sin^2(3t)}
=\frac12\biggl(\frac1s-\frac{s}{s^2+36}\biggr)
\frac12\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{s}{s2+36}\Bigr)=\frac12\frac{s2+36-s2}{s(s2+36)}=\frac{18}{s(s^2+36)}$$