Calcular usando exclusivamente operações elementares.
\operatorname{det}\left[\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\\\ 2 & 1 & 3 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 2 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 0 & 2 & 5 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 5\times5
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\\\ 2 & 1 & 3 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 2 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 0 & 2 & 5 \end{pmatrix},
usando exclusivamente operações elementares. Não há outras informações adicionais; o objetivo é obter \det(A).

Passo 2

Breve lembrete sobre operações elementares e como elas afetam o determinante — isso é essencial porque vou usar essas regras o tempo todo:
  • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
  • Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k.
  • Adicionar a um linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Vou usar apenas operações do terceiro tipo (adições de múltiplos de linhas), que não mudam o determinante, portanto o determinante final será o produto dos elementos da diagonal depois de triangularizar a matriz.

Passo 3

Começo a eliminação gaussiana usando R_1 (primeira linha) como pivô na primeira coluna. As operações são:
R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 - R_1,\qquad R_5 \leftarrow R_5 - 3R_1.
Calculemos cada nova linha:
R_1=(1,2,0,1,3).
R_3=(2,1,3,1,0)-2(1,2,0,1,3)=(2-2,\;1-4,\;3-0,\;1-2,\;0-6)=(0,-3,3,-1,-6).
R_4=(1,0,2,4,2)-(1,2,0,1,3)=(0,-2,2,3,-1).
R_5=(3,1,0,2,5)-3(1,2,0,1,3)=(0,-5,0,-1,-4).
A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\\\ 0 & -2 & 2 & 3 & -1 \\\\ 0 & -5 & 0 & -1 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora uso R_2 como pivô na coluna 2 para zerar abaixo dele. As operações são:
R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2,\qquad R_4 \leftarrow R_4 + 2R_2,\qquad R_5 \leftarrow R_5 + 5R_2.
Calculemos:
R_2=(0,1,2,0,1).
R_3=(0,-3,3,-1,-6)+3(0,1,2,0,1)=(0,0,3+6,-1+0,-6+3)=(0,0,9,-1,-3).
R_4=(0,-2,2,3,-1)+2(0,1,2,0,1)=(0,0,2+4,3+0,-1+2)=(0,0,6,3,1).
R_5=(0,-5,0,-1,-4)+5(0,1,2,0,1)=(0,0,0+10,-1+0,-4+5)=(0,0,10,-1,1).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 9 & -1 & -3 \\\\ 0 & 0 & 6 & 3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 10 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Pivot seguinte é 9 em R_3 na coluna 3. Vou zerar os elementos abaixo usando:
R_4 \leftarrow R_4 - \frac{6}{9}R_3 = R_4 - \frac{2}{3}R_3,\qquad R_5 \leftarrow R_5 - \frac{10}{9}R_3.
Calculemos componente a componente:
R_3=(0,0,9,-1,-3).
Para R_4:
R_4=(0,0,6,3,1)-\tfrac{2}{3}(0,0,9,-1,-3) =(0,0,6-6,\;3-\tfrac{2}{3}(-1),\;1-\tfrac{2}{3}(-3)) =(0,0,0,\;3+\tfrac{2}{3},\;1+2) =(0,0,0,\tfrac{11}{3},3).
Para R_5:
R_5=(0,0,10,-1,1)-\tfrac{10}{9}(0,0,9,-1,-3) =(0,0,10-10,\;-1-\tfrac{10}{9}(-1),\;1-\tfrac{10}{9}(-3)) =(0,0,0,\;-1+\tfrac{10}{9},\;1+\tfrac{30}{9}) =(0,0,0,\tfrac{1}{9},\tfrac{13}{3}).
Agora a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 9 & -1 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{11}{3} & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{9} & \tfrac{13}{3} \end{pmatrix}.

Passo 6

Usando R_4 como pivô na coluna 4, elimino o elemento em R_5 com
m=\frac{\tfrac{1}{9}}{\tfrac{11}{3}}=\frac{1}{9}\cdot\frac{3}{11}=\frac{1}{33}, \qquad R_5\leftarrow R_5 - m R_4.
Calculemos a última linha:
R_4=(0,0,0,\tfrac{11}{3},3).
R_5=(0,0,0,\tfrac{1}{9},\tfrac{13}{3})-\tfrac{1}{33}(0,0,0,\tfrac{11}{3},3).
O quarto elemento fica \tfrac{1}{9}-\tfrac{1}{33}\cdot\tfrac{11}{3}=\tfrac{1}{9}-\tfrac{11}{99}=\tfrac{1}{9}-\tfrac{1}{9}=0.
O quinto elemento fica \tfrac{13}{3}-\tfrac{1}{33}\cdot 3=\tfrac{13}{3}-\tfrac{3}{33}=\tfrac{13}{3}-\tfrac{1}{11}.
Colocando em denominador comum 33:
\tfrac{13}{3}=\tfrac{143}{33},\qquad \tfrac{1}{11}=\tfrac{3}{33},
logo \tfrac{143}{33}-\tfrac{3}{33}=\tfrac{140}{33}.
A matriz triangular final é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 9 & -1 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{11}{3} & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{140}{33} \end{pmatrix}.

Passo 7

Como todas as operações foram do tipo “somar múltiplo de uma linha em outra”, o determinante não foi alterado durante o processo. Para uma matriz triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Portanto
\det(A)=1\cdot 1\cdot 9\cdot \tfrac{11}{3}\cdot \tfrac{140}{33}.
Façamos a simplificação passo a passo:
1\cdot 1\cdot 9=9, \qquad 9\cdot \tfrac{11}{3}=3\cdot 11=33, \qquad 33\cdot \tfrac{140}{33}=140.
Logo \det(A)=140.

Resposta

140

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