São três equações lineares em três incógnitas x,y,z.
A tarefa é aplicar um método iterativo (ou seja, obter as incógnitas por aproximações sucessivas).
Não foram dadas aproximações iniciais nem tolerância; será escolhida uma aproximação inicial simples e uma tolerância razoável para a prova.
Passo 2
Escolha do método e por quê (sem resolver ainda): vou usar o método de Gauss–Seidel. Por que Gauss–Seidel?
É um método iterativo simples e comumente cobrado em provas.
Normalmente converge mais rápido que Jacobi porque usa imediatamente os valores mais recentes a cada passo.
Porém, a convergência não é garantida para qualquer arranjo do sistema; uma condição suficiente simples que garante convergência é a dominância diagonal estrita por linhas (cada valor diagonal em módulo maior que soma dos módulos dos demais coeficientes da mesma linha). Se necessário, posso permutar as equações para obter essa propriedade.
Passo 3
Verificar dominância diagonal no sistema original e, se preciso, permutar as equações.
Coeficientes na forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}:
Calcular para cada linha a comparação |a_{ii}| versus soma dos módulos dos outros coeficientes:
Linha 1: |a_{11}|=1, soma dos outros |-3|+|7|=10. Não é dominante.
Linha 2: |a_{22}|=1, soma dos outros |15|+|{-4}|=19. Não é dominante (note que o coeficiente 15 está na posição (2,1), não na diagonal).
Linha 3: |a_{33}|=1, soma dos outros |2|+|6|=8. Não é dominante.
Assim, na forma dada a matriz não é diagonalmente dominante. Mas é permitido permutar as equações (trocar linhas) sem alterar a solução. Se organizarmos as equações na ordem (\text{eqn }2,\\ \text{eqn }3,\\ \text{eqn }1) obtemos:
\begin{gathered} 15x - y -4z = 10\\\\ 2x + 6y - z = 15\\\ x - 3y +7z = 20 \end{gathered}
Portanto A' é estritamente diagonalmente dominante por linhas. Isso garante que o método de Gauss–Seidel aplicado a este arranjo converge para a solução única do sistema original. Foi feita apenas uma permutação das equações (válida).]
Passo 4
Obter as fórmulas iterativas de Gauss–Seidel a partir do sistema permutado.
Escrevendo cada equação isolando a variável correspondente na diagonal:
Da primeira (nova) equação: 15x - y -4z =10. Isolando x:
x = \frac{10 + y + 4z}{15}.
Da segunda: 2x +6y - z =15. Isolando y:
y = \frac{15 - 2x + z}{6}.
Da terceira: x -3y +7z =20. Isolando z:
z = \frac{20 - x + 3y}{7}.
No método de Gauss–Seidel, a cada iteração atualiza-se x, em seguida usa-se esse novo x para calcular y, e então usa-se novos x,y para calcular z. Denotando as aproximações por x^{(k)},y^{(k)},z^{(k)}, as fórmulas iterativas são:
Cada expressão vem de isolar a incógnita da equação onde ela aparece no termo diagonal.
Em Gauss–Seidel, sempre que já se tem uma nova aproximação numa etapa do ciclo, usa-se essa nova aproximação imediatamente nas equações seguintes (por isso y^{(k+1)} usa x^{(k+1)}, e z^{(k+1)} usa ambos x^{(k+1)} e y^{(k+1)}).
A vantagem é acelerar a convergência comparado a usar apenas valores antigos (como no método de Jacobi).]
Passo 5
Escolha de apróximação inicial e critério de parada.
Vou adotar o chute inicial simples \;(x^{(0)},y^{(0)},z^{(0)})=(0,0,0)\; (comum em provas).
Critério de parada: parar quando a variação máxima absoluta entre duas iterações consecutivas for menor que 10^{-4}:
A maior diferença é menor que 10^{-4}, logo o critério de parada foi satisfeito na iteração 5.
Observação didática: as aproximações estão estabilizando e claramente convergem. A razão para convergir é que, após permutar as equações, a matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas, condição suficiente para convergência de Gauss–Seidel.]
Passo 7
(Verificação alternativa: solução exata por eliminação gaussiana — útil para conferir resultado numérico)
Fazendo eliminação ou substituição direta chega-se à solução exata em frações:
Comparando com as aproximações finais do Gauss–Seidel, observa-se boa concordância até as casas decimais mostradas (as pequenas diferenças residuais são do fato de a iteração ter sido interrompida com tolerância 10^{-4}).