Calcular usando as propriedades dizendo quais foram usadas:
H. 144 Obter a derivada de cada função f dada abaixo:
f(x)=(3 x^2+x)(1+x+x^3)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = l(3x^2 + xr),l(1 + x + x^3r)
O conteúdo é cálculo de derivada usando as regras de soma, potência, constante e, principalmente, a regra do produto.

Passo 2

Definimos duas funções auxiliares
u(x) = 3x^2 + x e v(x) = 1 + x + x^3,
de modo que f(x)=u(x),v(x). Para derivar, vamos usar a regra do produto:
l(u,vr)' = u',v + u,v'

Passo 3

Calculamos u'(x) aplicando a regra da soma e a regra da potência:
u'(x) = ddxl(3x^2r) + ddxl(xr) = 3cdot2x^1 + 1 = 6x + 1
Para v'(x), também usamos soma e potência:
v'(x) = ddx(1) + ddx(x) + ddxl(x^3r) = 0 + 1 + 3x^2 = 1 + 3x^2

Passo 4

Aplicando a regra do produto,
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x) = (6x+1),(1 + x + x^3) ;+; (3x^2+x),(1 + 3x^2)

Passo 5

Agora simplificamos termo a termo. Primeiro expandimos cada produto:
(6x+1)(1 + x + x^3) =6x+1 +6x^2+x +6x^4+x^3 =6x^4+x^3+6x^2+7x+1,
(3x^2+x)(1 + 3x^2) =3x^2+9x^4+x+3x^3 =9x^4+3x^3+3x^2+x
Somando estes polinômios,
f'(x)=l(6x^4+9x^4r) +l(x^3+3x^3r) +l(6x^2+3x^2r) +l(7x+xr) +1 =15x^4+4x^3+9x^2+8x+1

Resposta

f'(x)=15x^4+4x^3+9x^2+8x+1

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