Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função. [Curiosidade: as funções senh, cosh e tanh são ditas seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica] [Observação:
]
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para determinar onde ela é diferenciável e calcular
. O conteúdo envolve domínio de funções compostas, diferenciabilidade de exponencial e logaritmo e aplicação da regra da cadeia.
Passo 2
Para o logaritmo natural
existir, precisamos ter
Como
para todo
, segue que
sempre. Portanto o domínio de
é
Passo 3
Sabemos que a função exponencial
é diferenciável em
, a soma com a constante
mantém a diferenciabilidade, e o logaritmo natural é diferenciável em todo ponto onde seu argumento é positivo. Logo, por composição de funções diferenciáveis,
é diferenciável para todo
.
Passo 4
Vamos aplicar a regra da cadeia. Defina
então
. Temos
e a derivada do logaritmo dá
Resposta
A função
é diferenciável em todo
e