Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função. [Curiosidade: as funções senh, cosh e tanh são ditas seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica] [Observação:
cosh ^2(x)-senh^2(x)=1 ]
f(x)=ln (e^x+1)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=lnl(e^x+1r)
e pede para determinar onde ela é diferenciável e calcular f'(x). O conteúdo envolve domínio de funções compostas, diferenciabilidade de exponencial e logaritmo e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Para o logaritmo natural ln(u) existir, precisamos ter
u=e^x+1>0
Como e^x>0 para todo xinR, segue que e^x+1>1>0 sempre. Portanto o domínio de f é
R

Passo 3

Sabemos que a função exponencial e^x é diferenciável em R, a soma com a constante 1 mantém a diferenciabilidade, e o logaritmo natural é diferenciável em todo ponto onde seu argumento é positivo. Logo, por composição de funções diferenciáveis, f é diferenciável para todo xinR.

Passo 4

Vamos aplicar a regra da cadeia. Defina
u(x)=e^x+1,
então f(x)=lnl(u(x)r). Temos
u'(x)=ddxl(e^x+1r)=e^x,
e a derivada do logaritmo dá
f'(x)=u'(x)u(x)=e^xe^x+1

Resposta

A função f é diferenciável em todo xinR e
f'(x)=e^xe^x+1

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