Calcular usando as propriedades dizendo quais foram usadas:
H. 144 Obter a derivada de cada função f dada abaixo:
f(x)=(2+3 x+x^2)^5

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(2+3x+x^2r)^5
Usaremos as seguintes propriedades de diferenciação:
– Regra da soma: ddx[u+v]=u'+v'
– Regra da potência: ddx[u^n]=n,u^n-1,u' (que é a combinação da potência e da cadeia)
– Derivada de constante e de x^m: ddx[a]=0, ddx[x^m]=m,x^m-1.

Passo 2

Definimos a função interna
g(x)=2+3x+x^2
Pela regra da soma e das potências,
g'(x)=ddx[2]+ddx[3x]+ddx[x^2] =0+3+2x =3+2x

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia combinada com a potência:
f'(x)=ddxl[g(x)^5r] =5,g(x)^4cdot g'(x)
Substituindo g(x) e g'(x),
f'(x)=5l(2+3x+x^2r)^4,(3+2x)

Passo 4

Podemos também reescrever o fator linear em ordem polinomial:
5,(3+2x)=10x+15,
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f'(x)=(10x+15),(2+3x+x^2)^4

Resposta

f'(x)=5l(2+3x+x^2r)^4(3+2x) ou f'(x)=(10x+15)(2+3x+x^2)^4

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