Calcular o valor de l=24 I, onde
I=integral1 / 3^3 arctan raizxraizx(1+x) d x
Resposta: (1) l=pi^2, (2) l=2 pi^2, (3) l=3 pi^2, (4) l=4 pi^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular l = 24 I onde I = integral1/3^3 arctan raizxraizx(1+x),dx. Esse exercício envolve técnicas de mudança de variável e reconhecimento da derivada da função arctan.

Passo 2

Fazendo a substituição x = t^2, temos t = raizx, dx = 2t,dt e os limites ficam t=1/raiz3 e t=raiz3. Assim:
I = integral1/raiz3^raiz3 arctan tt(1+t^2) cdot 2t,dt = 2 integral1/raiz3^raiz3 arctan t1+t^2,dt

Passo 3

Observando que ddt(arctan t)=11+t^2, podemos definir u = arctan t e du = dt1+t^2. Então:
2 integral arctan t1+t^2,dt = 2 integral u,du = u^2

Passo 4

Voltando aos limites em termos de u, temos em t=raiz3 que u=arctan(raiz3)=pi/3 e em t=1/raiz3 que u=arctan(1/raiz3)=pi/6. Logo:
I = l(tfracpi3r)^2 - l(tfracpi6r)^2 = tfracpi^29 - tfracpi^236 = tfracpi^212

Passo 5

Por fim, l = 24I = 24 cdot tfracpi^212 = 2pi^2.

Resposta

2pi^2

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