Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que estudar a convergência da série infinita:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com séries alternadas, que são séries onde os termos mudam de sinal a cada passo.
O que precisamos para resolver: Vamos usar o Teste da Série Alternada para verificar se a série converge. Além disso, podemos verificar a convergência absoluta para entender melhor o comportamento da série.
Passo 2
Vamos analisar a série dada:
Observe que os termos alternam de sinal devido a . Isso caracteriza uma série alternada.
Passo 3
Aplicaremos o Teste da Série Alternada, que diz que uma série da forma converge se:
Os termos são positivos.
Os termos decrescem: .
.
No nosso caso, temos .
Passo 4
1. Positividade:
Para todo , , então .
2. Decrescimento:
Vamos verificar se :
Como para todo , então . Portanto, é decrescente.
3. Limite:
Calculamos o limite de quando tende ao infinito:
Passo 5
Como todos os três critérios do Teste da Série Alternada são satisfeitos, podemos concluir que a série converge.
Passo 6
Agora, vamos verificar se a série converge absolutamente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Passo 7
Para verificar a convergência absoluta, utilizamos o Teste da Comparação. Compare a série 14n^2 + 1 < 14n^2 para todo n >= 1 com a série :
Sabemos que é uma série p com , que converge porque .
Passo 8
Como e converge, então, pela Comparação Direta, a série também converge.
Passo 9
Portanto, a série original converge absolutamente, o que significa que ela converge independente dos sinais alternados dos termos.
Resposta
A série converge absolutamente, ou seja, a soma dos valores absolutos dos termos também converge.