Estude a convergência da série abaixo.
sumn=1^infty(-1)^n+1 14 n^2+1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que estudar a convergência da série infinita:
sumn=1^infty(-1)^n+1 14 n^2+1
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com séries alternadas, que são séries onde os termos mudam de sinal a cada passo.
O que precisamos para resolver: Vamos usar o Teste da Série Alternada para verificar se a série converge. Além disso, podemos verificar a convergência absoluta para entender melhor o comportamento da série.

Passo 2

Vamos analisar a série dada:
sumn=1^infty(-1)^n+1 14 n^2+1
Observe que os termos alternam de sinal devido a . Isso caracteriza uma série alternada.

Passo 3

Aplicaremos o Teste da Série Alternada, que diz que uma série da forma converge se:
  1. Os termos são positivos.
  2. Os termos decrescem: .
  3. .
No nosso caso, temos .

Passo 4

1. Positividade:
Para todo bn+1 = 14(n+1)^2 + 1 = 14n^2 + 8n + 5 , limn to infty bn = limn to infty 14n^2 + 1 = 0 , então .
2. Decrescimento:
Vamos verificar se :
Como para todo , então . Portanto, é decrescente.
3. Limite:
Calculamos o limite de quando tende ao infinito:

Passo 5

Como todos os três critérios do Teste da Série Alternada são satisfeitos, podemos concluir que a série converge.

Passo 6

Agora, vamos verificar se a série converge absolutamente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n+1 14 n^2+1 | = sumn=1^infty 14n^2 + 1

Passo 7

Para verificar a convergência absoluta, utilizamos o Teste da Comparação. Compare a série 14n^2 + 1 < 14n^2 para todo n >= 1 com a série :
Sabemos que é uma série p com , que converge porque .

Passo 8

Como e converge, então, pela Comparação Direta, a série também converge.

Passo 9

Portanto, a série original converge absolutamente, o que significa que ela converge independente dos sinais alternados dos termos.

Resposta

A série converge absolutamente, ou seja, a soma dos valores absolutos dos termos também converge.

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