Sobre a função
, responda:
(a) Quais os interceptos com os eixos e as assíntotas de
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(a) Quais os interceptos com os eixos e as assíntotas de
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver uma questão sobre a função $ f(x) = x e^{x} $. O que precisamos descobrir aqui são os pontos onde o gráfico dessa função cruza os eixos coordenados (chamados de interceptos) e se existem linhas que a função se aproxima sem nunca tocar (essas são as assíntotas). Para isso, vamos usar conceitos básicos de funções exponenciais e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os interceptos com os eixos.
Intercepto com o eixo y:
O intercepto com o eixo y acontece quando $ x = 0 $. Basta substituir $ x $ por 0 na função:
Então, o ponto de intercepto com o eixo y é $ (0, 0) $.
Intercepto com o eixo x:
O intercepto com o eixo x ocorre quando $ f(x) = 0 $. Então, resolvemos:
Sabemos que $ e^{x} $ nunca é zero para nenhum valor real de $ x $. Portanto, para que o produto seja zero, $ x $ deve ser zero:
Novamente, o intercepto com o eixo x é $ (0, 0) $. Ou seja, a função cruza ambos os eixos no mesmo ponto.
Passo 3
Agora, vamos investigar as assíntotas da função $ f(x) = x e^{x} $.
As assíntotas podem ser horizontais, verticais ou oblíquas. Vamos analisar cada uma:
Assíntotas Horizontais:
Para encontrar assíntotas horizontais, verificamos o comportamento da função quando $ x $ tende a $ +\infty $ e $ -\infty $.
- Quando $ x \to +\infty $:
- Quando $ x \to -\infty $:
Portanto, há uma assíntota horizontal em $ y = 0 $ quando $ x \to -\infty $.
Assíntotas Verticais:
Assíntotas verticais ocorrem quando a função tende a $ \pm\infty $ em algum valor finito de $ x $. Observando a função $ f(x) = x e^{x} $, não há valores de $ x $ que façam $ f(x) $ se tornar infinito de forma repentina. Portanto, não existem assíntotas verticais.
Assíntotas Oblíquas:
Assíntotas oblíquas ocorrem quando o limite de $ \frac{f(x)}{x} $ tende a uma constante diferente de zero quando $ x \to \pm\infty $. Vamos verificar:
Já que o limite não é uma constante finita, não há assíntota oblíqua.
Resposta
A função $ f(x) = x e^{x} $ tem um único intercepto com os eixos em $ (0, 0) $ e possui uma assíntota horizontal na reta $ y = 0 $.