Calcule y^prime
(a) y=ln (sen x)-52 sen^2(2 x)

Passo 1

A questão pede para calcular a derivada de y=ln(senx)-tfrac52,sen^2(2x). Vamos usar derivada de ln(u), derivada de sen(x) e regra da cadeia.

Passo 2

Para derivar ln(senx), aplicamos ddx[ln(u)]=u'u com u=senx. Como u'=cos x, obtemos
ddx[ln(senx)] =cos xsenx

Passo 3

Agora derivamos -tfrac52,sen^2(2x). Seja v=sen(2x). Então sen^2(2x)=v^2 e v'=2cos(2x). Usando regra da cadeia e power rule:
ddx[v^2]=2v,v'=2,sen(2x)cdot2cos(2x)=4,sen(2x)cos(2x)
Multiplicando pelo constante -tfrac52):
-tfrac52cdot4,sen(2x)cos(2x)=-10,sen(2x)cos(2x)

Passo 4

Para simplificar note que 2,sen(2x)cos(2x)=sen(4x). Logo
-10,sen(2x)cos(2x)=-5,sen(4x)
Somando as duas derivações, a derivada final é

Passo 5

Resposta

y'=cos xsenx-5,sen(4x)

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