Deseja-se filtrar uma suspensão em tambor rotativo a vácuo de 2 m de diâmetro e 2 m de comprimento. A suspensão apresenta 18 \% em massa de sólidos e as propriedades físicas do sistema são: densidade do fluido igual a 1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm} 3, viscosidade do fluido igual a 0,8 \mathrm{cp} e densidade do sólido igual a 2,3 \mathrm{~g} / \mathrm{cm} 3. O filtro industrial deve operar com uma queda de pressão de 25 in de Hg com fração de submerso de 40 \%. A espessura final da torta deve ser de 5 mm . Ensaios de laboratório conduzidos com esta mesma suspensão em filtro folha de 200 \mathrm{~cm}^{2} de área filtrante, queda de pressão de 25 in de Hg , levaram as tortas com porosidade de 0,63 e a seguinte relação entre o tempo de filtração e o volume de filtrado:
\mathrm{T}_{\mathrm{f}}(\mathrm{min}) 1 2
\mathrm{~V}_{\mathrm{f}}(\mathrm{cm} 3) 300 440
a) O número de rotações por minuto do cilindro, e
b) A produção de filtrado.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
O enunciado pede:
  • (a) o número de rotações por minuto do cilindro;
  • (b) a produção de filtrado (fluxo volumétrico de filtrado).
Dados fornecidos (peguei os números do enunciado):
  • Diâmetro do tambor: D=2\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do tambor: L=2\\ \mathrm{m}.
  • Fração submersa do tambor: f_{\text{sub}}=40\%=0,40.
  • Espessura final da torta: e_f=5\\ \mathrm{mm}=0,005\\ \mathrm{m}.
  • Concentração em massa de sólidos na suspensão: 18\% (fração mássica w_s=0,18).
  • Densidade do fluido: \rho_f=1{,}0\\ \mathrm{g/cm^3}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Viscosidade do fluido: \mu=0{,}8\\ \mathrm{cP}=0{,}0008\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Densidade do sólido: \rho_s=2{,}3\\ \mathrm{g/cm^3}=2300\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Queda de pressão (vácuo): \Delta P=25\\ \text{in Hg}. (Vou converter para Pa na resolução.)
  • Ensaio de laboratório em filtro folha:
    • Área do ensaio: A_{\text{lab}}=200\\ \mathrm{cm^2}=0{,}02\\ \mathrm{m^2}.
    • Mesma queda de pressão: \Delta P_{\text{lab}}=25\\ \text{in Hg}.
    • Porosidade da torta (ensaio): \varepsilon=0{,}63.
    • Dados experimentais (tempo vs volume filtrado):
      • T_{f1}=1\\ \mathrm{min}, V_{f1}=300\\ \mathrm{cm^3}=3{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3}.
      • T_{f2}=2\\ \mathrm{min}, V_{f2}=440\\ \mathrm{cm^3}=4{,}4\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3}.
Observações úteis que usarei depois:
  • Precisarei converter \Delta P para pascal usando 1\\ \text{in Hg}\approx3386{,}389\\ \mathrm{Pa}.
  • Vou usar a equação de filtração em pressão constante (equação de Ruth/Rushton), que relaciona tempo t com volume filtrado V para área A: t = \frac{\mu \, \alpha \, C_s}{2\,\Delta P\, A^2}\,V^2 + \frac{\mu\, R_m}{\Delta P\, A}\,V,onde \alpha é a resistência específica da torta, R_m resistência do meio filtrante e C_s a massa de sólidos por volume de filtrado (kg/m^3).
    Vou determinar \alpha e R_m a partir dos dados de laboratório e então aplicar ao tambor rotativo por unidade de área.

Passo 2

Conversões e cálculos iniciais de grandezas derivadas.
Converter a pressão:
\Delta P = 25\\ \text{in Hg} = 25\times3386{,}389\\ \mathrm{Pa}=84659{,}725\\ \mathrm{Pa}.
Calcular a concentração de sólidos por volume de filtrado C_s (massa de sólidos por volume de filtrado). Parto de 1 kg de suspensão:
  • massa de sólidos: m_s=0{,}18\\ \mathrm{kg}.
  • massa de líquido: m_f=0{,}82\\ \mathrm{kg}.
  • volume de líquido (filtrado) correspondente: V_f=m_f/\rho_f=0{,}82/1000=0{,}00082\\ \mathrm{m^3}.
    Logo
C_s=\frac{m_s}{V_f}=\frac{0{,}18}{0{,}00082}=219{,}512195\\ \mathrm{kg/m^3}.
Área do ensaio:
A_{\text{lab}}=200\\ \mathrm{cm^2}=0{,}02\\ \mathrm{m^2}.
Área submersa do tambor (área ativa por revolução, isto é, a área do arco submerso vezes o comprimento):
  • Circunferência = \pi D = \pi\cdot 2 = 2\pi\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento submerso (perímetro vezes fração): l_{\text{sub}} = 0{,}4\cdot 2\pi =0{,}8\pi\\ \mathrm{m}.
  • Área submersa:
A_{\text{drum}} = l_{\text{sub}}\cdot L = 0{,}8\pi \cdot 2 = 1{,}6\pi \\ \mathrm{m^2}\approx 5{,}026548\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Determinar os coeficientes da equação de filtração a partir dos dados de ensaio de laboratório.
A equação de filtração em forma polinomial é
t = b_1 V + b_2 V^2,
onde, para área A_{\text{lab}},
b_1=\frac{\mu R_m}{\Delta P A_{\text{lab}}},\qquad b_2=\frac{\mu \alpha C_s}{2\Delta P A_{\text{lab}}^2}.
Usando os dois pontos experimentais ( t_1=60\\ \mathrm{s}, V_1=3{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3}) e ( t_2=120\\ \mathrm{s}, V_2=4{,}4\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3}), resolvo o sistema linear para b_1 e b_2.
Escrevendo:
\begin{cases} 60 = b_1(3{,}0\times10^{-4}) + b_2(3{,}0\times10^{-4})^2,\\[4pt] 120 = b_1(4{,}4\times10^{-4}) + b_2(4{,}4\times10^{-4})^2. \end{cases}
Resolvendo (álgebra simples) obtém-se:
b_2 \approx 5{,}19480519\times10^{8}\\ \mathrm{s/m^6}, \qquad b_1 \approx 4{,}4155\!8442\times10^{4}\\ \mathrm{s/m^3}.]

Passo 4

A partir de b_1 e b_2 obtenho \alpha e R_m.
Da definição:
\alpha = \frac{b_2 \, 2\,\Delta P\, A_{\text{lab}}^2}{\mu \, C_s}, \qquad R_m = \frac{b_1 \,\Delta P \, A_{\text{lab}}}{\mu}.
Substituindo números:
\alpha \approx 2{,}00\times10^{11}\\ \mathrm{m/kg}, \qquad R_m \approx 9{,}346\times10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Breve comentário didático: \alpha é a resistência específica da torta; quanto maior \alpha, mais difícil é o escoamento através da torta. R_m mede a resistência do meio filtrante (fita/papel) em si.

Passo 5

Passar para a formulação por unidade de área (é conveniente para tambor rotativo).
Definindo v=V/A (volume filtrado por unidade de área, unidades \mathrm{m^3/m^2}=\mathrm{m}), a equação torna-se independente da área:
t = B_1\, v^2 + B_2\, v,
com
B_1=\frac{\mu \alpha C_s}{2\Delta P},\qquad B_2=\frac{\mu R_m}{\Delta P}.
Isso é prático: o tempo necessário para obter um certo volume por área depende apenas dos parâmetros do fluido, torta e pressão, não da área total.
Calculo B_1 e B_2 usando \alpha e R_m encontrados:
B_1 \approx 2{,}07865\times10^{5}\\ \mathrm{s/m^2},\qquad B_2 \approx 883{,}1169\\ \mathrm{s/m}.

Passo 6

Calcular o volume por unidade de área v necessário para formar a torta de espessura e_f, pelo balanço de sólidos.
A massa de sólidos por unidade de área na torta é:
m'_s = (1-\varepsilon)\, e_f\, \rho_s,
onde \varepsilon é a porosidade da torta (do ensaio: 0{,}63).
Portanto o volume de filtrado por unidade de área necessário é
v = \frac{m'_s}{C_s} = \frac{(1-\varepsilon)\, e_f\, \rho_s}{C_s}.
Substituindo:
(1-\varepsilon)=0{,}37,\quad e_f=0{,}005\\ \mathrm{m},\quad \rho_s=2300\\ \mathrm{kg/m^3},
m'_s=0{,}37\cdot0{,}005\cdot2300=4{,}255\\ \mathrm{kg/m^2},
v=\frac{4{,}255}{219{,}512195}=0{,}019386\\ \mathrm{m^3/m^2}=0{,}019386\\ \mathrm{m}.
Interpretação: para formar a torta de 5\\ \mathrm{mm} é preciso filtrar 0{,}019386\\ \mathrm{m^3} de líquido por metro quadrado de superfície.

Passo 7

Calcular o tempo por unidade de área necessário para gerar esse v, usando a equação por unidade de área.
t_{\text{form}} = B_1 v^2 + B_2 v.
Substituindo v=0{,}019386\\ \mathrm{m}:
t_{\text{form}} \approx 2{,}07865\times10^{5}\cdot(0{,}019386)^2 + 883{,}1169\cdot0{,}019386.
Calculando os termos:
t_{\text{form}}\approx 78{,}08\\ \mathrm{s} + 17{,}11\\ \mathrm{s}\approx 95{,}19\\ \mathrm{s}.
Significado: cada ponto da superfície do tambor precisa ficar submerso aproximadamente 95{,}2\\ \mathrm{s} para formar a torta de 5\\ \mathrm{mm} sob as condições dadas.

Passo 8

Relacionar esse tempo com a rotação do tambor para encontrar a rotação (RPM).
Tempo que cada ponto do tambor fica submerso por revolução:
t_{\text{sub}} = f_{\text{sub}}\cdot T_{\text{rev}},
onde T_{\text{rev}}=\dfrac{60}{\text{RPM}} é o período em segundos por volta.
Devemos ter t_{\text{sub}}=t_{\text{form}} para que, em uma passagem submersa, a torta atinja a espessura desejada. Assim:
f_{\text{sub}}\cdot\frac{60}{\text{RPM}} = t_{\text{form}} \quad\Rightarrow\quad \text{RPM} = \frac{f_{\text{sub}}\cdot 60}{t_{\text{form}}}.
Substituindo f_{\text{sub}}=0{,}4 e t_{\text{form}}=95{,}19\\ \mathrm{s}:
\text{RPM} = \frac{0{,}4\cdot 60}{95{,}19} = \frac{24}{95{,}19}\approx 0{,}2520\\ \text{rpm}.
Portanto o tambor deve girar muito lentamente: aproximadamente 0{,}252\\ \text{rpm} (cerca de 0,25 rpm).

Passo 9

Calcular a produção de filtrado (vazão volumétrica) correspondente.
Volume filtrado por revolução (toda a área submersa contribui):
V_{\text{rev}} = v\cdot A_{\text{drum}}.
Com v=0{,}019386\\ \mathrm{m^3/m^2} e A_{\text{drum}}\approx5{,}026548\\ \mathrm{m^2}:
V_{\text{rev}}\approx 0{,}019386\cdot5{,}026548 \approx 0{,}097457\\ \mathrm{m^3/rev}.
Vazão volumétrica (m^3/min) = V_{\text{rev}}\times RPM:
Q_{\text{vol}} = V_{\text{rev}}\cdot \text{RPM} \approx 0{,}097457\cdot0{,}2520 \approx 0{,}02456\\ \mathrm{m^3/min}.
Em unidades mais usuais:
Q_{\text{vol}} \approx 0{,}02456\\ \mathrm{m^3/min}\times 60 \approx 1{,}474\\ \mathrm{m^3/h},
ou
Q_{\text{vol}}\approx 0{,}0004093\\ \mathrm{m^3/s}\approx 1474\\ \mathrm{L/h}.
Também posso dar a produção de sólidos (opcional, útil):
\dot m_{\text{s}} = Q_{\text{vol}}\cdot C_s \approx 1{,}474\\ \mathrm{m^3/h}\times219{,}512\\ \mathrm{kg/m^3}\approx 323{,}6\\ \mathrm{kg_{sólidos}/h}.ó

Resposta

(a) \text{RPM}\approx 0{,}2520\\ \text{rpm}.
(b) Q_{\text{vol}}\approx 1{,}474\\ \mathrm{m^3/h} (aprox. 1474\\ \mathrm{L/h}).

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