Calcular o valor dos determinantes das seguintes matrizes:
\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & 0, \overline{3} \\\\ 3 & 8\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 2\times2
A = \begin{pmatrix} \frac12 & 0,\overline{3}\\\\ 3 & 8 \end{pmatrix}
O conteúdo principal é a definição de determinante de matriz 2\times2 e precisamos antes converter o número 0,\overline{3} em fração.

Passo 2

Para converter 0,\overline{3} em fração, seja x = 0,\overline{3}. Então
10x = 3,\overline{3}
10x - x = 3,\overline{3} - 0,\overline{3} \;\Longrightarrow\; 9x = 3
x = \frac{3}{9} = \frac13
Logo o elemento da matriz é \tfrac13.

Passo 3

A fórmula do determinante de uma matriz
\begin{pmatrix} a & b\\\ c & d \end{pmatrix}
é
\det = a\,d \;-\; b\,c.

Passo 4

Aqui temos
a = \frac12,\quad b = \frac13,\quad c = 3,\quad d = 8.
Substituindo na fórmula:
\det(A) = \frac12 \cdot 8 \;-\; \frac13 \cdot 3 = 4 \;-\; 1 = 3.

Resposta

3

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