Calcule o determinante e a matriz inversa (se existir) de cada item abaixo
\left|\begin{array}{rrrr}2 & -3 & 6 & -4 \\\\ 4 & 2 & -1 & 3 \\\\ -4 & 6 & -12 & 8 \\\\ 1 & 0 & 2 & 3\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 6 & -4\\\\ 4 & 2 & -1 & 3\\\\ -4 & 6 & -12 & 8\\\\ 1 & 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}
e pede o cálculo de \det(A) e, se existir, da matriz inversa A^{-1}. Vamos usar propriedades de determinantes, em especial dependência linear de linhas, para verificar se \det(A) é zero ou não, e então determinar a invertibilidade.

Passo 2

Para calcular \det(A), note que a terceira linha de A é exatamente -2 vezes a primeira linha, pois
-2\cdot(2,\,-3,\,6,\,-4) = (-4,\,6,\,-12,\,8).
Quando uma linha é múltiplo de outra, as linhas são linearmente dependentes e o determinante anula-se. Logo
\det(A) = 0.

Passo 3

Como \det(A)=0, a matriz A não é invertível (uma matriz quadrada tem inversa se e somente se seu determinante for diferente de zero). Portanto, não existe A^{-1}.

Resposta

\det(A)=0
A matriz A não é invertível, logo a inversa não existe.

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