Calcular o valor da expressão : E=2^{3+\log _{2} 5}+7^{2 \cdot \log _{3} 3}.

Passo 1

O problema pede para calcular o valor da expressão
E = 2^{3+\log_{2} 5} + 7^{2\cdot\log_{3} 3}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\;2^{3+\log_{2}5} — uma potência cuja base é 2 e o expoente é 3+\log_{2}5.
\;7^{2\cdot\log_{3}3} — uma potência cuja base é 7 e o expoente é 2\cdot\log_{3}3.
O que precisamos: simplificar/avaliar cada termo e somá-los para obter E.

Passo 2

Vamos lembrar e entender a propriedade dos expoentes que vamos usar: para qualquer base positiva a e expoentes x e y vale
a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y}.
O motivo intuitivo: multiplicar potências de mesma base soma os expoentes, logo inverter a ideia mostra que uma potência com expoente somado pode ser escrita como produto de potências separadas. Isso nos permite separar 2^{3+\log_{2}5} em um produto de duas potências de base 2.

Passo 3

Outra propriedade essencial envolvendo logaritmos e potências é:
a^{\log_{a} b}=b,
onde a>0, a\neq1 e b>0. Explicação rápida: por definição, \log_{a} b é o número c tal que a^{c}=b. Então a^{\log_{a} b}=a^{c}=b. Uma consequência simples é \log_{a} a=1 porque a^{1}=a.

Passo 4

Agora aplico as propriedades ao primeiro termo. Usando a^{x+y}=a^{x}a^{y} com a=2, x=3, y=\log_{2}5:
2^{3+\log_{2}5} = 2^{3}\cdot 2^{\log_{2}5}.
Pelo passo anterior, 2^{\log_{2}5}=5. Portanto
2^{3+\log_{2}5} = 2^{3}\cdot 5 = 8\cdot 5 = 40.
(Expliquei cada substituição: primeiro separei a potência, depois usei 2^{\log_{2}5}=5.)

Passo 5

Agora o segundo termo. Observamos que \log_{3}3=1 por definição de logaritmo, pois 3^{1}=3. Então o expoente fica
2\cdot \log_{3}3 = 2\cdot 1 = 2.
Logo
7^{2\cdot\log_{3}3} = 7^{2} = 49.
(Aqui foi direto: reconhecer que o logaritmo vale 1 simplifica muito.)

Passo 6

Somando os dois resultados:
E = 40 + 49 = 89.
Pronto — foi só aplicar as leis de potências e a relação potência-logaritmo. Você foi bem! Se bater nervoso na prova, lembre-se: separar expoentes e reconhecer a^{\log_{a}(\cdot)} salva tempo.

Resposta

89

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