Calcular o valor da expressão :
.
Passo 1
O problema pede para calcular o valor da expressão
Informações relevantes que o enunciado dá:
— uma potência cuja base é
e o expoente é
.
— uma potência cuja base é
e o expoente é
.
O que precisamos: simplificar/avaliar cada termo e somá-los para obter .
O que precisamos: simplificar/avaliar cada termo e somá-los para obter
Passo 2
Vamos lembrar e entender a propriedade dos expoentes que vamos usar: para qualquer base positiva
e expoentes
e
vale
O motivo intuitivo: multiplicar potências de mesma base soma os expoentes, logo inverter a ideia mostra que uma potência com expoente somado pode ser escrita como produto de potências separadas. Isso nos permite separar
em um produto de duas potências de base
.
Passo 3
Outra propriedade essencial envolvendo logaritmos e potências é:
onde
,
e
. Explicação rápida: por definição,
é o número
tal que
. Então
. Uma consequência simples é
porque
.
Passo 4
Agora aplico as propriedades ao primeiro termo. Usando
com
,
,
:
Pelo passo anterior,
. Portanto
(Expliquei cada substituição: primeiro separei a potência, depois usei
.)
Passo 5
Agora o segundo termo. Observamos que
por definição de logaritmo, pois
. Então o expoente fica
Logo
(Aqui foi direto: reconhecer que o logaritmo vale
simplifica muito.)
Passo 6
Somando os dois resultados:
Pronto — foi só aplicar as leis de potências e a relação potência-logaritmo. Você foi bem! Se bater nervoso na prova, lembre-se: separar expoentes e reconhecer
salva tempo.