O logaritmo de um número na base 16 é \frac{2}{3}. Calcule o logaritmo desse número na base \frac{1}{4}.

Passo 1

O enunciado diz que o logaritmo de um número (vou chamar esse número de N) na base 16 é \frac{2}{3}. Ou seja, foi dada a informação
\log_{16} N = \frac{2}{3}.
A pergunta: calcular o valor de \log_{1/4} N. Em resumo, dado \log_{16} N = \frac{2}{3}, encontrar \log_{1/4} N.

Passo 2

Vamos lembrar o significado do logaritmo (a definição básica) para trabalhar passo a passo. A definição diz que, para bases positivas diferentes de 1,
\log_b x = y \quad\Longleftrightarrow\quad b^{y} = x.
Isso significa que se \log_{16} N = \frac{2}{3}, então N é a potência de 16 com expoente \frac{2}{3}. Vou usar isso agora.

Passo 3

Usando a definição, escrevo N como potência de 16:
N = 16^{\frac{2}{3}}.
Vou simplificar essa potência escrevendo 16 em potências de 2, porque 16 = 2^{4}. Substituindo:
N = (2^{4})^{\frac{2}{3}}.

Passo 4

Ao manipular potências temos a regra (a^{m})^{n} = a^{m\cdot n}. Aplicando aqui:
N = 2^{4 \cdot \frac{2}{3}} = 2^{\frac{8}{3}}.
Portanto encontrei uma forma mais simples de N: N = 2^{\frac{8}{3}}.

Passo 5

Agora quero calcular \log_{1/4} N. Substituo N = 2^{\frac{8}{3}} dentro do logaritmo:
\log_{1/4} N = \log_{1/4}\!\left(2^{\frac{8}{3}}\right).
Usarei a propriedade do logaritmo que permite tirar o expoente: para qualquer base válida a e número positivo x,
\log_{a}(x^{k}) = k\,\log_{a} x.
Aplicando,
\log_{1/4}\!\left(2^{\frac{8}{3}}\right) = \frac{8}{3}\,\log_{1/4} 2.

Passo 6

Agora preciso de \log_{1/4} 2. Note que 1/4 também pode ser escrito em potências de 2: 1/4 = 2^{-2}. Então
\log_{1/4} 2 = \log_{2^{-2}} 2.
Há uma identidade útil: \log_{a^{k}} b = \dfrac{1}{k}\,\log_{a} b. Aplicando aqui com a=2 e k=-2,
\log_{2^{-2}} 2 = \frac{1}{-2}\,\log_{2} 2.
E \log_{2} 2 = 1 porque 2^{1}=2. Assim
\log_{1/4} 2 = \frac{1}{-2}\cdot 1 = -\frac{1}{2}.
Também dá para ver diretamente: (1/4)^{y}=2 implica 2^{-2y}=2^{1} e então -2y=1\Rightarrow y=-\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Volto para a expressão do Passo 5:
\log_{1/4} N = \frac{8}{3}\,\log_{1/4} 2 = \frac{8}{3}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right).
Faço a multiplicação:
\frac{8}{3}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}.
Isso conclui o cálculo.

Resposta

-\dfrac{4}{3}

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