O logaritmo de um número na base 16 é
. Calcule o logaritmo desse número na base
.
Passo 1
O enunciado diz que o logaritmo de um número (vou chamar esse número de
) na base
é
. Ou seja, foi dada a informação
A pergunta: calcular o valor de
. Em resumo, dado
, encontrar
.
Passo 2
Vamos lembrar o significado do logaritmo (a definição básica) para trabalhar passo a passo. A definição diz que, para bases positivas diferentes de
,
Isso significa que se
, então
é a potência de
com expoente
. Vou usar isso agora.
Passo 3
Usando a definição, escrevo
como potência de
:
Vou simplificar essa potência escrevendo
em potências de
, porque
. Substituindo:
Passo 4
Ao manipular potências temos a regra
. Aplicando aqui:
Portanto encontrei uma forma mais simples de
:
.
Passo 5
Agora quero calcular
. Substituo
dentro do logaritmo:
Usarei a propriedade do logaritmo que permite tirar o expoente: para qualquer base válida
e número positivo
,
Aplicando,
Passo 6
Agora preciso de
. Note que
também pode ser escrito em potências de
:
. Então
Há uma identidade útil:
. Aplicando aqui com
e
,
E
porque
. Assim
Também dá para ver diretamente:
implica
e então
.
Passo 7
Volto para a expressão do Passo 5:
Faço a multiplicação:
Isso conclui o cálculo.