Se no sistema de logaritmos de base 8 a soma dos logaritmos de 3 números é
, calcule o produto desses números.
Passo 1
O enunciado diz que, no sistema de logaritmos de base
, a soma dos logaritmos de
números é
.
Pergunta: qual é o produto desses números?
Informações dadas de forma matemática: , onde
,
e
são os três números cujo produto queremos encontrar.
Pergunta: qual é o produto desses
Informações dadas de forma matemática:
Passo 2
Lembra da definição básica de logaritmo: dizer que
significa, por definição, que
. Vou escrever isso devagar: se
então, equivalently,
.
Isso é essencial porque o logaritmo é só a maneira de passar de multiplicação/exponenciação para soma, e vice‑versa.
Isso é essencial porque o logaritmo é só a maneira de passar de multiplicação/exponenciação para soma, e vice‑versa.
Passo 3
Propriedade fundamental que vamos usar (vou justificar porque é simples e útil): para qualquer base positiva
(com
) e números positivos
e
,
Justificativa rápida: se
e
então
e
. Assim
. Aplicando logaritmo,
. Pronto — é só a regra de que potências com mesma base somam expoentes.
Passo 4
Aplicando a propriedade do passo anterior para
números (aplicamos primeiro a dois e depois ao resultado com o terceiro), obtemos:
Pelo enunciado isso vale
, logo temos a igualdade
Passo 5
Agora usamos a definição de logaritmo (Passo 2) para reescrever a igualdade em forma exponencial:
Isto porque
é equivalente a
.
Passo 6
Calcular
é fácil se lembrar que
. Então
Usei aqui a regra de potências
.
Passo 7
Conclusão: o produto dos três números é
. Vai com calma: a ideia central é ter em mente que soma de logaritmos vira logaritmo do produto, e então voltar ao formato exponencial para achar o produto.