Se no sistema de logaritmos de base 8 a soma dos logaritmos de 3 números é \frac{1}{3}, calcule o produto desses números.

Passo 1

O enunciado diz que, no sistema de logaritmos de base \,8, a soma dos logaritmos de \,3 números é \frac{1}{3}.
Pergunta: qual é o produto desses \,3 números?
Informações dadas de forma matemática: \log_{8} a + \log_{8} b + \log_{8} c = \frac{1}{3}, onde a, b e c são os três números cujo produto queremos encontrar.

Passo 2

Lembra da definição básica de logaritmo: dizer que \log_{b} A = C significa, por definição, que b^{C}=A. Vou escrever isso devagar: se \log_{b} A = C então, equivalently, A = b^{C}.
Isso é essencial porque o logaritmo é só a maneira de passar de multiplicação/exponenciação para soma, e vice‑versa.

Passo 3

Propriedade fundamental que vamos usar (vou justificar porque é simples e útil): para qualquer base positiva b (com b\neq1) e números positivos u e v,
\log_{b} u + \log_{b} v = \log_{b}(u\cdot v).
Justificativa rápida: se \log_{b} u = p e \log_{b} v = q então u=b^{p} e v=b^{q}. Assim u\cdot v = b^{p}\cdot b^{q} = b^{p+q}. Aplicando logaritmo, \log_{b}(u\cdot v)=p+q=\log_{b} u + \log_{b} v. Pronto — é só a regra de que potências com mesma base somam expoentes.

Passo 4

Aplicando a propriedade do passo anterior para \,3 números (aplicamos primeiro a dois e depois ao resultado com o terceiro), obtemos:
\log_{8} a + \log_{8} b + \log_{8} c = \log_{8}(a\cdot b\cdot c).
Pelo enunciado isso vale \frac{1}{3}, logo temos a igualdade
\log_{8}(a\cdot b\cdot c) = \frac{1}{3}.

Passo 5

Agora usamos a definição de logaritmo (Passo 2) para reescrever a igualdade em forma exponencial:
a\cdot b\cdot c = 8^{\frac{1}{3}}.
Isto porque \log_{8}(a\cdot b\cdot c)=\frac{1}{3} é equivalente a (a\cdot b\cdot c)=8^{1/3}.

Passo 6

Calcular 8^{\frac{1}{3}} é fácil se lembrar que 8=2^{3}. Então
8^{\frac{1}{3}} = (2^{3})^{\frac{1}{3}} = 2^{3\cdot\frac{1}{3}} = 2^{1} = 2.
Usei aqui a regra de potências (x^{m})^{n}=x^{mn}.

Passo 7

Conclusão: o produto dos três números é \,2. Vai com calma: a ideia central é ter em mente que soma de logaritmos vira logaritmo do produto, e então voltar ao formato exponencial para achar o produto.

Resposta

2

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