Calcular o valor das integrais definidas
Calcule as integrais:
integral-2^2 t|t-3| d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral-2^2 t,lvert t-3rvert ,dt
O conteúdo envolvido é integração de expressão com valor absoluto. Para resolver, vamos precisar identificar onde a quantidade dentro do valor absoluto muda de sinal e, em seguida, integrar o polinômio resultante.

Passo 2

Analisamos a expressão dentro do valor absoluto:
t-3=0 Longrightarrow t=3
Como 3notin[-2,2], em todo o intervalo de integração temos t-3<0. Portanto
lvert t-3rvert = -(t-3) = 3 - t

Passo 3

Substituindo em integral-2^2 t,lvert t-3rvert,dt, obtemos
integral-2^2 t(3-t),dt = integral-2^2 (3t - t^2),dt
Uma primitiva de 3t - t^2 é
F(t) = 32,t^2 ;-;13,t^3

Passo 4

Agora avaliamos F(t) de -2 a 2:
F(2) = 32cdot2^2 ;-;13cdot2^3 = 6 - 83 = 103,
F(-2) = 32cdot(-2)^2 ;-;13cdot(-2)^3 = 6 + 83 = 263
Logo,
integral-2^2 t,lvert t-3rvert,dt = F(2) - F(-2) = 103 - 263 = -163

Resposta

-163

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