Calcular o valor das integrais definidas
Calcule as integrais:
integral2^5 d xraiz5+4 x-x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral2^5 dxraiz5 + 4x - x^2
O conteúdo envolvido é integração de função com raiz quadrática no denominador. Para resolver, vamos completar o quadrado no radicando e usar a substituição trigonométrica que leva à forma de arco seno.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em 5 + 4x - x^2. Escrevendo
5 + 4x - x^2 = -(x^2 - 4x) + 5 = -l(x^2 - 4x + 4r) + 5 + 4 = 9 - (x - 2)^2
Portanto a integral vira
integral2^5 dxraiz9 - (x - 2)^2

Passo 3

Fazemos a mudança de variável t = x - 2. Quando x=2, t=0; quando x=5, t=3. Assim
dx = dt e 9 - (x - 2)^2 = 9 - t^2,
de modo que a integral se torna
integral0^3 dtraiz9 - t^2

Passo 4

Reconhecemos a forma padrão
integral dtraiza^2-t^2 = arcsin!l(tfractar) + C,
com a=3. Assim,
integral0^3 dtraiz9 - t^2 = arcsin!l(tfract3r)|0^3 = arcsin(1) - arcsin(0) = pi2 - 0

Resposta

pi2

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