Calcular o valor das integrais definidas
Calcule as integrais:
integralln (2)^ln (3) 4 d x(e^x+e^-x)^2R.

Passo 1

O enunciado pede a integral definida
integralln(2)^ln(3) 4l(e^x+e^-xr)^2,dx
Esse tipo de integral fica mais simples usando as funções hiperbólicas, sabendo que cosh(x)=tfrace^x+e^-x2 e sech(x)=1/cosh(x).

Passo 2

Reescrevendo o integrando com hiperbólicas temos
e^x+e^-x=2cosh(x) Longrightarrow l(e^x+e^-xr)^2=4cosh^2(x),
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4l(e^x+e^-xr)^2 =44cosh^2(x) =sech^2(x)

Passo 3

Sabendo que
ddxtanh(x)=sech^2(x),
vemos que a antiderivada de sech^2(x) é tanh(x). Assim,
integral 4l(e^x+e^-xr)^2,dx =tanh(x)+C

Passo 4

Avaliar nos limites:
integralln(2)^ln(3) 4l(e^x+e^-xr)^2,dx =tanhl(ln(3)r)-tanhl(ln(2)r)
Como
tanhl(ln(a)r) =e^ln(a)-e^-ln(a)e^ln(a)+e^-ln(a) =a-1/aa+1/a =a^2-1a^2+1,
segue
tanh(ln(3))=9-19+1=810=45, tanh(ln(2))=4-14+1=35

Passo 5

Subtraindo os valores obtidos:
45-35=15

Resposta

15

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