Questão 2. Considere a função: y=x(x+2)^2
Determine os seguintes elementos da função:
  • Assíntotas verticais e assíntotas horizontais.
  • Intervalos em que a função é crescente e intervalos em que é decrescente.
  • Limites da função quando x tende aos extremos dos intervalos que constituem seu domínio.
  • Pontos críticos da função.
  • Pontos de máximo local e pontos de mínimo local.
  • Pontos em que o gráfico da função intercepta os eixos coordenados.
  • Seu domínio.
Trace o gráfico da função, de acordo com esses elementos, indicando na figura todos os elementos levantados anteriormente.

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função
y = x(x+2)^2
Isso envolve determinar o domínio, interceptos, assíntotas, limites nas fronteiras do domínio, derivada para achar pontos críticos e monotonicidade, extremos locais e, por fim, esboçar o gráfico com todos esses elementos.

Passo 2

Domínio: a expressão só falha quando o denominador é zero, ou seja, x+2=0.
Portanto
Domínio = xinRmid xneq -2 í
Interceptos:
  • Para o eixo x, impomos y=0, logo x=0. Temos o ponto (0,0).
  • Para o eixo y, impomos x=0, obtendo y=0, o mesmo ponto (0,0).

Passo 3

Assíntotas verticais e horizontais:
  • Vertical em x=-2.
  • Para limxtopminfty y, note que
y=x(x+2)^2=xx^2(1+2/x)^2sim1xto0
Logo a assíntota horizontal é y=0.

Passo 4

Limites nas fronteiras do domínio:
  • limxto-2^- x(x+2)^2=-20^+=-infty.
  • limxto-2^+ x(x+2)^2=-20^+=-infty.
    Limites no infinito:
  • limxto+infty y=0^+.
  • limxto-infty y=0^-.

Passo 5

Derivada para pontos críticos e monotonicidade:
Escrevendo y=x,(x+2)^-2,
y'=(x+2)^2-2x(x+2)(x+2)^4 =(x+2)(x+2-2x)(x+2)^4 =2-x(x+2)^3
Zeramos o numerador: 2-x=0implies x=2. Esse é o único ponto crítico (além de x=-2, onde a função não existe).

Passo 6

Sinal de y' e monotonicidade:
Para x<-2: numerador 2-x>0, denominador (x+2)^3<0 Rightarrow y'<0 (decrescente).
Para -2<x<2: numerador >0, denominador >0 Rightarrow y'>0 (crescente).
Para x>2: numerador 2-x<0, denominador >0 Rightarrow y'<0 (decrescente).

Passo 7

Classificação de x=2:
  • Em -2<x<2 a função sobe até x=2.
  • Em x>2 a função desce.
    Logo em x=2 há um máximo local. O valor é
y(2)=2(2+2)^2=216=18
Não há mínimo local porque não há outro ponto crítico.

Passo 8

Esboço do gráfico (orientações):
  • Assíntotas: linha vertical x=-2 e horizontal y=0.
  • Passa por (0,0) e atinge máximo l(2,tfrac18r).
  • Desce para -infty ao aproximar xto-2^pm.
  • Para xtopminfty aproxima-se de y=0, de cima para +infty e de baixo para -infty.
    Marque os intervalos de crescimento e decrescimento conforme encontrado.

Resposta

  • Domínio: xinRmid xneq -2.
  • Intercepto nos eixos: (0,0).
  • Assíntota vertical: x=-2.
  • Assíntota horizontal: y=0.
  • Limites:
    limxto-2^pmy=-infty,
    limxto+inftyy=0^+,
    limxto-inftyy=0^-.
  • Derivada: y'=(2-x)/(x+2)^3.
  • Monotonicidade:
    decrescente em (-infty,-2),
    crescente em (-2,2),
    decrescente em (2,infty).
  • Ponto crítico: x=2.
  • Extremo: máximo local em l(2,tfrac18r).
  • Mínimos locais: nenhum.
  • Esboço: curva com assíntotas em x=-2 e y=0, passando por (0,0), atingindo máximo em (2,1/8) e obedecendo monotonicidade e limites acima.

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