Questão 2. Considere a função:
Determine os seguintes elementos da função:
- Assíntotas verticais e assíntotas horizontais.
- Intervalos em que a função é crescente e intervalos em que é decrescente.
- Limites da função quando
tende aos extremos dos intervalos que constituem seu domínio.
- Pontos críticos da função.
- Pontos de máximo local e pontos de mínimo local.
- Pontos em que o gráfico da função intercepta os eixos coordenados.
- Seu domínio.
Trace o gráfico da função, de acordo com esses elementos, indicando na figura todos os elementos levantados anteriormente.
Determine os seguintes elementos da função:
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da função
Isso envolve determinar o domínio, interceptos, assíntotas, limites nas fronteiras do domínio, derivada para achar pontos críticos e monotonicidade, extremos locais e, por fim, esboçar o gráfico com todos esses elementos.
Passo 2
Domínio: a expressão só falha quando o denominador é zero, ou seja,
.
Portanto
Portanto
Interceptos:
- Para o eixo
, impomos , logo . Temos o ponto . - Para o eixo
, impomos , obtendo , o mesmo ponto .
Passo 3
Assíntotas verticais e horizontais:
- Vertical em
. - Para
, note que
Logo a assíntota horizontal é
.
Passo 4
Limites nas fronteiras do domínio:
-
. -
.
Limites no infinito: -
. -
.
Passo 5
Derivada para pontos críticos e monotonicidade:
Escrevendo ,
Escrevendo
Zeramos o numerador:
. Esse é o único ponto crítico (além de
, onde a função não existe).
Passo 6
Sinal de
e monotonicidade:
Para : numerador
, denominador
(decrescente).
Para : numerador
, denominador
(crescente).
Para : numerador
, denominador
(decrescente).
Para
Para
Para
Passo 7
Classificação de
:
- Em
a função sobe até . - Em
a função desce.
Logo emhá um máximo local. O valor é
Não há mínimo local porque não há outro ponto crítico.
Passo 8
Esboço do gráfico (orientações):
- Assíntotas: linha vertical
e horizontal . - Passa por
e atinge máximo . - Desce para
ao aproximar . - Para
aproxima-se de , de cima para e de baixo para .
Marque os intervalos de crescimento e decrescimento conforme encontrado.
Resposta
- Domínio:
. - Intercepto nos eixos:
. - Assíntota vertical:
. - Assíntota horizontal:
. - Limites:
,
,
. - Derivada:
. - Monotonicidade:
decrescente em,
crescente em,
decrescente em. - Ponto crítico:
. - Extremo: máximo local em
. - Mínimos locais: nenhum.
- Esboço: curva com assíntotas em
e , passando por , atingindo máximo em e obedecendo monotonicidade e limites acima.