Calcular o valor de \mathbf{m} para que as retas
r:\left\{\begin{array}{c} y=m x-3 \\\ z=-2 x \end{array} \quad \text { e } \quad s:\left\{\begin{array}{c} x=-2+1 t \\\ y=3-t \\\ z=5 t \end{array}\right.\right.
sejam ortogonais \left(\overrightarrow{v_{1}} \cdot \overrightarrow{v_{2}}\right).

Passo 1

O enunciado dá duas retas e pede o valor de m\) para que as retas sejam ortogonais (ou seja, para que os vetores diretores sejam perpendiculares). Dados fornecidos: - Reta \(r\) dada por \[\begin{cases} y = m x - 3,\\[4pt] z = -2 x, \end{cases}
onde x\] aparece livre (pode ser usado como parâmetro). - Reta \[s dada em forma paramétrica
\begin{cases} x = -2 + 1\,t,\\[4pt] y = 3 - t,\\[4pt] z = 5 t, \end{cases}
com parâmetro t\]. O que nos pedem: encontrar o valor de \(m tal que os vetores diretores de r e s sejam ortogonais, isto é, tal que o produto escalar entre esses vetores seja zero.]

Passo 2

Como extrair o vetor diretor da reta r\). A reta \(r\) está escrita relacionando \(y\) e \(z\) com \(x\). Podemos tomar \(x\) como parâmetro: seja \(x=t\). Substituindo: \[\begin{cases} x = t,\\[4pt] y = m t - 3,\\[4pt] z = -2 t. \end{cases}
O vetor posição geral é (t,\; m t -3,\; -2 t)\]. O vetor diretor corresponde às variações quando \(t aumenta de 1 unidade, ou seja, aos coeficientes de t. Assim o vetor diretor de r é
\overrightarrow{v_{1}} = (1,\; m,\; -2).
Observação didática: as constantes como -3 deslocam a reta no espaço (mudam o ponto por onde ela passa) mas não mudam a direção; por isso só os coeficientes de t importam para o vetor diretor.]

Passo 3

Extrair o vetor diretor da reta s. A reta s já está em forma paramétrica com parâmetro t:
x=-2+1 t,\qquad y=3-t,\qquad z=5t.
Os coeficientes multiplicando t são as componentes do vetor diretor. Portanto
\overrightarrow{v_{2}} = (1,\; -1,\; 5).
Explicação rápida: os vetores diretores são os “passos” que um ponto da reta dá quando o parâmetro aumenta de 1.

Passo 4

Definição e condição de ortogonalidade por produto escalar. Para dois vetores em \mathbb{R}^{3},
\overrightarrow{a}=(a_x,a_y,a_z),\qquad \overrightarrow{b}=(b_x,b_y,b_z),
o produto escalar é
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
Dois vetores são ortogonais (perpendiculares) se e somente se o produto escalar for zero:
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0.
Aplicaremos isso a \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}}.

Passo 5

Calcular o produto escalar \overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{v_{2}} em termos de m:
\overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{v_{2}} = (1)\cdot(1) + (m)\cdot(-1) + (-2)\cdot(5).
Fazendo as multiplicações:
\overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{v_{2}} = 1 - m - 10.

Passo 6

Impor a condição de ortogonalidade: o produto escalar deve ser zero. Assim resolvemos a equação
1 - m - 10 = 0.
Simplificando:
- m - 9 = 0 \quad\Rightarrow\quad m = -9.

Passo 7

Verificação rápida (para ficar tranquilo): com m=-9, os vetores ficam \overrightarrow{v_{1}}=(1,-9,-2) e \overrightarrow{v_{2}}=(1,-1,5). O produto escalar é
1\cdot1 + (-9)\cdot(-1) + (-2)\cdot5 = 1 + 9 - 10 = 0,
confirmando que são ortogonais.

Resposta

m=-9

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