O enunciado dá duas retas e pede o valor de m\) para que as retas sejam ortogonais (ou seja, para que os vetores diretores sejam perpendiculares). Dados fornecidos:
- Reta \(r\) dada por
\[\begin{cases} y = m x - 3,\\[4pt] z = -2 x, \end{cases}
onde x\] aparece livre (pode ser usado como parâmetro).
- Reta \[s dada em forma paramétrica
\begin{cases} x = -2 + 1\,t,\\[4pt] y = 3 - t,\\[4pt] z = 5 t, \end{cases}
com parâmetro t\].
O que nos pedem: encontrar o valor de \(m tal que os vetores diretores de r e s sejam ortogonais, isto é, tal que o produto escalar entre esses vetores seja zero.]
Passo 2
Como extrair o vetor diretor da reta r\). A reta \(r\) está escrita relacionando \(y\) e \(z\) com \(x\). Podemos tomar \(x\) como parâmetro: seja \(x=t\). Substituindo:
\[\begin{cases} x = t,\\[4pt] y = m t - 3,\\[4pt] z = -2 t. \end{cases}
O vetor posição geral é (t,\; m t -3,\; -2 t)\]. O vetor diretor corresponde às variações quando \(t aumenta de 1 unidade, ou seja, aos coeficientes de t. Assim o vetor diretor de r é
\overrightarrow{v_{1}} = (1,\; m,\; -2).
Observação didática: as constantes como -3 deslocam a reta no espaço (mudam o ponto por onde ela passa) mas não mudam a direção; por isso só os coeficientes de t importam para o vetor diretor.]
Passo 3
Extrair o vetor diretor da reta s. A reta s já está em forma paramétrica com parâmetro t:
x=-2+1 t,\qquad y=3-t,\qquad z=5t.
Os coeficientes multiplicando t são as componentes do vetor diretor. Portanto
\overrightarrow{v_{2}} = (1,\; -1,\; 5).
Explicação rápida: os vetores diretores são os “passos” que um ponto da reta dá quando o parâmetro aumenta de 1.
Passo 4
Definição e condição de ortogonalidade por produto escalar. Para dois vetores em \mathbb{R}^{3},
\overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{v_{2}} = 1 - m - 10.
Passo 6
Impor a condição de ortogonalidade: o produto escalar deve ser zero. Assim resolvemos a equação
1 - m - 10 = 0.
Simplificando:
- m - 9 = 0 \quad\Rightarrow\quad m = -9.
Passo 7
Verificação rápida (para ficar tranquilo): com m=-9, os vetores ficam \overrightarrow{v_{1}}=(1,-9,-2) e \overrightarrow{v_{2}}=(1,-1,5). O produto escalar é