Defina as equações simétricas da reta que passa pelo ponto
e tem a direção do vetor
.
Passo 1
O enunciado pede: definir as equações simétricas da reta que passa pelo ponto
e tem direção dada pelo vetor
.
Informações fornecidas:
- Ponto por onde a reta passa:
. - Vetor diretor da reta:
.
Objetivo claro: escrever as equações simétricas da reta (forma em que se igualam as três expressões que dão o mesmo parâmetro).
Passo 2
Conceito e fórmula paramétrica (a base didática).
- Uma reta em
pode ser escrita na forma vetorial
onde:
-
é o vetor posição genérico de um ponto qualquer da reta; -
é o vetor posição do ponto dado pela reta (aqui o ponto ); -
é o vetor diretor da reta; -
é o parâmetro que varia ao longo da reta.
Explicando em miúdos: a cada valor de
soma-se ao ponto inicial
um múltiplo do vetor direção
, obtendo assim todos os pontos da reta.
Passo 3
Aplicando ao caso concreto — obter as equações paramétricas.
- Aqui
Cada uma dessas equações dá a coordenada correspondente em função do parâmetro (t].]
Passo 4
Passando das equações paramétricas para as equações simétricas.
- Para formar as equações simétricas isolamos
em cada uma:
- Igualando essas expressões de
obtemos a forma simétrica padrão da reta:
Passo 5
Observações úteis para a prova (como checar e interpretar).
- Checagem rápida: para
as paramétricas dão , que é o ponto . Para dá , que é outro ponto da reta; isso confirma consistência. - Nota sobre componentes nulas: aqui todos os componentes do vetor diretor são diferentes de zero, então a forma simétrica acima é válida. Se algum componente de
fosse zero, a expressão correspondente não poderia ser dividida por zero e haveria que usar a forma alternativa (por exemplo, escrever a coordenada constante diretamente).