Defina as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(2,0,-5) e tem a direção do vetor \vec{v}=(2,2,-1).

Passo 1

O enunciado pede: definir as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(2,0,-5) e tem direção dada pelo vetor \vec{v}=(2,2,-1).
Informações fornecidas:
  • Ponto por onde a reta passa: A(2,0,-5).
  • Vetor diretor da reta: \vec{v}=(2,2,-1).
Objetivo claro: escrever as equações simétricas da reta (forma em que se igualam as três expressões que dão o mesmo parâmetro).

Passo 2

Conceito e fórmula paramétrica (a base didática).
  • Uma reta em \mathbb{R}^3 pode ser escrita na forma vetorial
\vec{r}=\vec{r_0}+t\vec{v},
onde:
  • \vec{r}=(x,y,z) é o vetor posição genérico de um ponto qualquer da reta;
  • \vec{r_0}=(x_0,y_0,z_0) é o vetor posição do ponto dado pela reta (aqui o ponto A);
  • \vec{v}=(a,b,c) é o vetor diretor da reta;
  • t\in\mathbb{R} é o parâmetro que varia ao longo da reta.
Explicando em miúdos: a cada valor de t soma-se ao ponto inicial \vec{r_0} um múltiplo do vetor direção \vec{v}, obtendo assim todos os pontos da reta.

Passo 3

Aplicando ao caso concreto — obter as equações paramétricas.
  • Aqui \vec{r_0}=(2,0,-5)\) e \(\vec{v}=(2,2,-1)\). Substituindo na forma vetorial obtemos, em forma componente: \[\begin{cases} x = 2 + 2t,\\[4pt] y = 0 + 2t,\\[4pt] z = -5 - t. \end{cases}
Cada uma dessas equações dá a coordenada correspondente em função do parâmetro (t].]

Passo 4

Passando das equações paramétricas para as equações simétricas.
  • Para formar as equações simétricas isolamos t em cada uma:
t=\dfrac{x-2}{2},\qquad t=\dfrac{y-0}{2}=\dfrac{y}{2},\qquad t=\dfrac{z+5}{-1}.
  • Igualando essas expressões de t obtemos a forma simétrica padrão da reta:
\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+5}{-1}.

Passo 5

Observações úteis para a prova (como checar e interpretar).
  • Checagem rápida: para t=0 as paramétricas dão x=2,\\ y=0,\\ z=-5, que é o ponto A. Para t=1 x=4,\\ y=2,\\ z=-6, que é outro ponto da reta; isso confirma consistência.
  • Nota sobre componentes nulas: aqui todos os componentes do vetor diretor são diferentes de zero, então a forma simétrica acima é válida. Se algum componente de \vec{v} fosse zero, a expressão correspondente não poderia ser dividida por zero e haveria que usar a forma alternativa (por exemplo, escrever a coordenada constante diretamente).

Resposta

\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+5}{-1}

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