Verifique se as transformações abaixo são lineares. Caso alguma nāo seja, apresente um contraexemplo.
;
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear (ou não)
definida por
A pergunta é: verificar se essa transformação é linear. Se não for linear, apresentar um contraexemplo. Vou listar o que foi dado e o que se pede:
- Dados: domínio
, contradomínio e a fórmula . - Pedido: determinar se
é linear; se não, mostrar um contraexemplo (ou seja, um exemplo que viole a linearidade).
Passo 2
Definição prática de linearidade (explicação didática): uma transformação
é linear quando satisfaz duas propriedades para todo
e todo escalar
:
- Aditividade:
- Homogeneidade (ou multiplicação por escalar):
Aqui
e
são vetores de
. Vou verificar essas duas propriedades diretamente com a fórmula dada. Também é útil lembrar: se
for linear, então necessariamente
; isso é um teste rápido que frequentemente ajuda.
Passo 3
Verificação da aditividade (passo a passo):
- Tome vetores genéricos
e . - Primeiro calcule
:
- Aplique
em :
- Desenvolvendo os parênteses:
- Agora calcule
:
logo
- Somando os termos:
Comparando as duas expressões, vemos que
Portanto a propriedade da aditividade é satisfeita.
Passo 4
Verificação da homogeneidade (passo a passo):
- Tome um vetor genérico
e um escalar . - Calcule
:
- Aplique
em :
- Fatore
dos termos:
- Mas
. Assim
Logo a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Passo 5
Verificação do teste do vetor zero (checagem extra e intuitiva):
- Calcule
:
Isto confirma a consequência necessária para transformações lineares: o vetor zero do domínio é enviado para o zero do contradomínio.
Passo 6
Interpretação e forma matricial (ajuda prática para a prova):
- A transformação é uma combinação linear das coordenadas com coeficientes
. Podemos escrever, para ,
- Isso mostra que
é uma forma linear (um funcional linear) dada pelo produto de uma matriz pela coluna do vetor, o que é uma prova alternativa e muito direta de linearidade: produtos matriciais preservam soma e multiplicação por escalar.
Passo 7
Conclusão final e observação de reforço (amigável):
- Ambas as propriedades necessárias para linearidade (aditividade e homogeneidade) foram verificadas de forma algébrica e direta. Além disso, a representação matricial confirma que
é linear. - Dica para a prova: sempre que uma transformação for dada como soma de coeficientes multiplicando as coordenadas (sem termos independentes somados), ela costuma ser linear; cuidado com termos constantes isolados como
que quebram a linearidade.