Verifique se as transformações abaixo são lineares. Caso alguma nāo seja, apresente um contraexemplo.
\mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathrm{R}, \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\mathrm{x}+5 \mathrm{y}-\mathrm{z};

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear (ou não) \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} definida por
\mathrm{T}(x,y,z)=x+5y-z.
A pergunta é: verificar se essa transformação é linear. Se não for linear, apresentar um contraexemplo. Vou listar o que foi dado e o que se pede:
  • Dados: domínio \mathbb{R}^3, contradomínio \mathbb{R} e a fórmula \mathrm{T}(x,y,z)=x+5y-z.
  • Pedido: determinar se \mathrm{T} é linear; se não, mostrar um contraexemplo (ou seja, um exemplo que viole a linearidade).

Passo 2

Definição prática de linearidade (explicação didática): uma transformação \mathrm{T} é linear quando satisfaz duas propriedades para todo u,v\in\mathbb{R}^3 e todo escalar c\in\mathbb{R}:
  1. Aditividade:
\mathrm{T}(u+v)=\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v).
  1. Homogeneidade (ou multiplicação por escalar):
\mathrm{T}(c\,u)=c\,\mathrm{T}(u).
Aqui u e v são vetores de \mathbb{R}^3. Vou verificar essas duas propriedades diretamente com a fórmula dada. Também é útil lembrar: se \mathrm{T} for linear, então necessariamente \mathrm{T}(0,0,0)=0; isso é um teste rápido que frequentemente ajuda.

Passo 3

Verificação da aditividade (passo a passo):
  • Tome vetores genéricos u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2).
  • Primeiro calcule u+v:
u+v=(x_1+x_2,\; y_1+y_2,\; z_1+z_2).
  • Aplique \mathrm{T} em u+v:
\mathrm{T}(u+v) = \mathrm{T}\bigl(x_1+x_2,\; y_1+y_2,\; z_1+z_2\bigr) = (x_1+x_2) + 5(y_1+y_2) - (z_1+z_2).
  • Desenvolvendo os parênteses:
\mathrm{T}(u+v) = x_1+x_2 + 5y_1+5y_2 - z_1 - z_2.
  • Agora calcule \mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v):
\mathrm{T}(u) = x_1+5y_1-z_1,\qquad \mathrm{T}(v)=x_2+5y_2-z_2,
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\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v) = (x_1+5y_1-z_1) + (x_2+5y_2-z_2).
  • Somando os termos:
\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v) = x_1+x_2 + 5y_1+5y_2 - z_1 - z_2.
Comparando as duas expressões, vemos que
\mathrm{T}(u+v)=\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v).
Portanto a propriedade da aditividade é satisfeita.

Passo 4

Verificação da homogeneidade (passo a passo):
  • Tome um vetor genérico u=(x,y,z) e um escalar c\in\mathbb{R}.
  • Calcule c\,u:
c\,u = (c x,\; c y,\; c z).
  • Aplique \mathrm{T} em c\,u:
\mathrm{T}(c\,u)=\mathrm{T}(c x,\; c y,\; c z)=c x + 5(c y) - (c z).
  • Fatore c dos termos:
\mathrm{T}(c\,u)=c(x + 5y - z).
  • Mas x+5y-z=\mathrm{T}(x,y,z)=\mathrm{T}(u). Assim
\mathrm{T}(c\,u)=c\,\mathrm{T}(u).
Logo a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.

Passo 5

Verificação do teste do vetor zero (checagem extra e intuitiva):
  • Calcule \mathrm{T}(0,0,0):
\mathrm{T}(0,0,0)=0 + 5\cdot 0 - 0 = 0.
Isto confirma a consequência necessária para transformações lineares: o vetor zero do domínio é enviado para o zero do contradomínio.

Passo 6

Interpretação e forma matricial (ajuda prática para a prova):
  • A transformação é uma combinação linear das coordenadas com coeficientes 1,5,-1. Podemos escrever, para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
\mathrm{T}(x,y,z) = \begin{pmatrix}1 & 5 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
  • Isso mostra que \mathrm{T} é uma forma linear (um funcional linear) dada pelo produto de uma matriz 1\times 3 pela coluna do vetor, o que é uma prova alternativa e muito direta de linearidade: produtos matriciais preservam soma e multiplicação por escalar.

Passo 7

Conclusão final e observação de reforço (amigável):
  • Ambas as propriedades necessárias para linearidade (aditividade e homogeneidade) foram verificadas de forma algébrica e direta. Além disso, a representação matricial confirma que \mathrm{T} é linear.
  • Dica para a prova: sempre que uma transformação for dada como soma de coeficientes multiplicando as coordenadas (sem termos independentes somados), ela costuma ser linear; cuidado com termos constantes isolados como +1 que quebram a linearidade.

Resposta

\mathrm{T} é linear.

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