Determinar as equações reduzidas, com variável independente x , da reta que passa pelo ponto \mathrm{A}(3,0,-3) e tem a direção do vetor \vec{v}=4 \vec{\imath}+2 \vec{\jmath}+3 \vec{k} são:

Passo 1

O enunciado dá explicitamente:
  • Ponto por onde passa a reta: A(3,0,-3).
  • Vetor direção da reta: \vec{v}=4\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+3\vec{k}.
O que se pede:
  • Determinar as equações reduzidas da reta com variável independente x. Ou seja, escrever y e z como funções de x para a reta que passa por A e tem direção \vec{v}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever a forma paramétrica da reta usando um parâmetro t. A fórmula vetorial da reta que passa por A e tem direção \vec{v} é
\vec{r}=\vec{r_0}+t\vec{v},
onde \vec{r_0} é o vetor posição do ponto A e t é o parâmetro real. Convertendo para as coordenadas x,y,z, temos as equações paramétricas
x=3+4t,
y=0+2t=2t,
z=-3+3t.
Aqui t representa o quanto nos deslocamos ao longo da direção \vec{v}; os coeficientes 4,2,3 são as razões de direção nas componentes x,y,z.

Passo 3

Como a questão pede as equações com variável independente x, vamos eliminar o parâmetro t escrevendo t em função de x. Da primeira equação paramétrica:
x=3+4t.
Isolando t:
t=\frac{x-3}{4}.
Obs.: isso só é possível porque a componente x do vetor direção é 4\neq0. Se fosse zero, não poderíamos usar x como parâmetro direto.

Passo 4

Agora substituímos t=\dfrac{x-3}{4} na equação para y. A equação paramétrica era y=2t. Substituindo:
y=2\left(\frac{x-3}{4}\right).
Simplificando o fator:
y=\frac{2}{4}(x-3)=\frac{1}{2}(x-3).
Portanto
y=\frac{x-3}{2}.

Passo 5

Substituímos o mesmo t na equação para z. A equação paramétrica era z=-3+3t. Substituindo t=\dfrac{x-3}{4}:
z=-3+3\left(\frac{x-3}{4}\right).
Efetuando a multiplicação:
z=-3+\frac{3(x-3)}{4}.
Colocando em denominação comum ou simplificando:
z=\frac{3x-21}{4}.
(Outra forma equivalente é z=-3+\dfrac{3}{4}(x-3) ou z=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{21}{4}.)

Passo 6

Concluindo: com x como variável independente, as equações reduzidas da reta são
y=\frac{x-3}{2},
z=\frac{3x-21}{4}.
Essas duas expressões dão y e z diretamente em função de x para qualquer ponto da reta. Se quiser verificar rápido: ao colocar x=3 (o ponto dado), obtém-se y=0 e z=-3, ok; o coeficiente angular entre x e y é 1/2, que corresponde à razão 2/4 da direção etc.

Resposta

y=\dfrac{x-3}{2}
z=\dfrac{3x-21}{4}

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