Determinar as equações reduzidas, com variável independente x , da reta que passa pelo ponto
e tem a direção do vetor
são:
Passo 1
O enunciado dá explicitamente:
- Ponto por onde passa a reta:
. - Vetor direção da reta:
.
O que se pede:
- Determinar as equações reduzidas da reta com variável independente
. Ou seja, escrever e como funções de para a reta que passa por e tem direção .
Passo 2
Primeiro passo técnico: escrever a forma paramétrica da reta usando um parâmetro
. A fórmula vetorial da reta que passa por
e tem direção
é
onde
é o vetor posição do ponto
e
é o parâmetro real. Convertendo para as coordenadas
, temos as equações paramétricas
Aqui
representa o quanto nos deslocamos ao longo da direção
; os coeficientes
são as razões de direção nas componentes
.
Passo 3
Como a questão pede as equações com variável independente
, vamos eliminar o parâmetro
escrevendo
em função de
. Da primeira equação paramétrica:
Isolando
:
Obs.: isso só é possível porque a componente
do vetor direção é
. Se fosse zero, não poderíamos usar
como parâmetro direto.
Passo 4
Agora substituímos
na equação para
. A equação paramétrica era
. Substituindo:
Simplificando o fator:
Portanto
Passo 5
Substituímos o mesmo
na equação para
. A equação paramétrica era
. Substituindo
:
Efetuando a multiplicação:
Colocando em denominação comum ou simplificando:
(Outra forma equivalente é
ou
.)
Passo 6
Concluindo: com
como variável independente, as equações reduzidas da reta são
Essas duas expressões dão
e
diretamente em função de
para qualquer ponto da reta. Se quiser verificar rápido: ao colocar
(o ponto dado), obtém-se
e
, ok; o coeficiente angular entre
e
é
, que corresponde à razão
da direção etc.