Calcular os valores de m para que se tenha (u+v) .(u-v)=0. Dados u=(m, 1) e v=(2,-1)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de m tais que o vetor (u+v) seja ortogonal a (u-v), ou seja,
(u+v)\cdot(u-v)=0.
Aqui vamos usar produto escalar de vetores em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Primeiro, calculemos as componentes de u+v e u-v.
u=(m,1),\quad v=(2,-1)
u+v=(m+2,\;1+(-1))=(m+2,0)
u-v=(m-2,\;1-(-1))=(m-2,2)

Passo 3

Agora aplicamos o produto escalar:
(u+v)\cdot(u-v)=(m+2)\,(m-2)+0\cdot2=(m+2)(m-2).

Passo 4

Impondo a condição de ortogonalidade (u+v)\cdot(u-v)=0, temos
(m+2)(m-2)=0.
Isso gera a equação quadrática
m^2-4=0
cuja solução é
m^2=4 \quad\Longrightarrow\quad m=2\quad\text{ou}\quad m=-2.

Resposta

m=2 ou m=-2.

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