Calcular a vazão e a velocidade em um canal trapezoidal ( \mathrm{m}=1 ) com as dimensões \mathrm{b}=2 \mathrm{~m} e \mathrm{h}=1 \mathrm{~m}. A declividade longitudinal é 0,0004 \mathrm{~m} / \mathrm{m} e a rugosidade \mathrm{n}=0,018

Passo 1

O problema pede que calculemos a vazão e a velocidade média em regime uniforme num canal trapezoidal. Os dados fornecidos são:
m=1,\quad b=2\\ \mathrm{m},\quad h=1\\ \mathrm{m},
S=0,0004,\quad n=0,018.
Objetivo: encontrar a vazão Q (em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}) e a velocidade média V (em \mathrm{m}/\mathrm{s}) para essa seção cheia até a profundidade h=1\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Calcular a geometria da seção (largura superior e área). Numa seção trapezoidal com declividade lateral m (horizontal por vertical), a largura superior é
\text{topo} = b + 2 m h.
A área da seção transversal é a área do trapézio, que pode ser escrita de forma prática como
A = h\,(b + m h).
Substituindo os valores:
\text{topo} = 2 + 2\cdot 1\cdot 1 = 4\\ \mathrm{m},
A = 1\cdot(2 + 1\cdot 1)=3\\ \mathrm{m}^2.
Explicação curta: a fórmula A=h(b+m h) vem de \displaystyle A=\frac{(b+\text{topo})\cdot h}{2} e \text{topo}=b+2mh.

Passo 3

Calcular o perímetro molhado P. Os lados inclinados têm comprimento h\sqrt{1+m^2} cada, logo
P = b + 2h\sqrt{1+m^2}.
Substituindo:
P = 2 + 2\cdot 1\cdot\sqrt{1+1^2}=2+2\sqrt{2}=2+2{,}8284271247\approx 4{,}8284271247\\ \mathrm{m}.
Explicação curta: o termo \sqrt{1+m^2} vem do teorema de Pitágoras aplicando-se à face inclinada (vertical h e horizontal m h).

Passo 4

Calcular o raio hidráulico R, definido por
R=\frac{A}{P}.
Substituindo os valores já calculados:
R=\frac{3}{4{,}8284271247}\approx 0{,}6213203436\\ \mathrm{m}.
Interpretação: R é uma medida que relaciona a área molhada com o comprimento do contorno molhado — quanto maior R, melhor a seção transporta água (menor atrito relativo).

Passo 5

Apresentar a fórmula de Manning e definir cada termo. A fórmula empírica de Manning para vazão em canal aberto é
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m}^3/\mathrm{s}),
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional),
  • A é a área da seção molhada ( \mathrm{m}^2),
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}),
  • S é a declividade do eixo do canal ( \mathrm{m}/\mathrm{m}),
  • potência R^{2/3} vem da dependência observada experimentalmente do atrito com a dimensão característica.
    A velocidade média também pode ser escrita como
V=\frac{Q}{A}=\frac{1}{n}\,R^{2/3}\,S^{1/2}.

Passo 6

Calcular S^{1/2} e R^{2/3}. Primeiro
S^{1/2}=\sqrt{0{,}0004}=0{,}02.
Para R^{2/3} podemos calcular a raiz cúbica e depois elevar ao quadrado, ou usar potência direta. Usando R\approx 0{,}6213203436,
R^{2/3}\approx 0{,}728082\\ (\text{valor numérico obtido como }(0{,}6213203436)^{2/3}).é
Breve justificativa: R^{2/3} é apenas uma operação de potência; mostrei uma maneira prática (raiz cúbica seguida de quadrado) que dá o mesmo resultado.

Passo 7

Calcular a velocidade V usando Manning:
V=\frac{1}{n}\,R^{2/3}\,S^{1/2}.
Substituindo n=0{,}018, R^{2/3}\approx 0{,}728082 e S^{1/2}=0{,}02:
V=\frac{1}{0{,}018}\cdot 0{,}728082\cdot 0{,}02 =55{,}555\ldots\cdot 0{,}01456164\approx 0{,}808978\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Arredondando com boa precisão, V\approx 0{,}809\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 8

Calcular a vazão Q como Q=A\cdot V:
Q = 3\cdot 0{,}808978\approx 2{,}426933\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Arredondando com duas casas significativas razoáveis para engenharia, Q\approx 2{,}43\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Resposta

Q\approx 2{,}43\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}\n
V\approx 0{,}809\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

Exercícios relacionados