Qual é a profundidade de escoamento num canal trapezoidal ( \mathrm{m}=1 ) que aduz uma vazão de 2,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e com velocidade de escoamento de 0,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a profundidade de escoamento y em um canal trapezoidal com talude lateral m=1, sabendo que a vazão é 2{,}4 (o enunciado escreveu \mathrm{m}/\mathrm{s}, mas interpreto como vazão volumétrica \mathrm{m}^3/\mathrm{s}) e a velocidade média é 0{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Informações dadas:
m=1,\qquad Q=2{,}4\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},\qquad V=0{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Informação faltante e necessária: a largura do fundo do canal (chamarei de b). Sem b não é possível obter um único valor numérico para y. Vou, contudo, mostrar passo a passo como se resolve o problema em função de b e dar exemplos numéricos para valores típicos de b.

Passo 2

Relação básica entre vazão, velocidade e área molhada: a vazão volumétrica é a área da seção molhada vezes a velocidade média:
Q = V\cdot A.
Portanto a área molhada requerida é
A=\frac{Q}{V}.
Calculemos A com os números fornecidos:
A=\frac{2{,}4}{0{,}81}=\frac{80}{27}\\ \mathrm{m}^2\approx 2{,}96296\\ \mathrm{m}^2.
Expliquei: isto significa que a seção molhada do canal deve ter aproximadamente 2{,}96296\\ \mathrm{m}^2 para transportar a vazão dada àquela velocidade.

Passo 3

Geometria da seção trapezoidal (definições e montagem da área). Defina:
b=\text{largura do fundo (m)},\qquad y=\text{profundidade de escoamento (m)},\qquad m=\text{talude lateral (horiz./vert.)}.
Para talude m significa que a cada 1 de altura há m de projeção horizontal em cada lado. A largura da superfície livre (topo) é
B_{\text{topo}}=b+2my.
A área da seção (área do trapézio) pode ser vista como a soma do retângulo de base b e altura y mais dois triângulos, ou diretamente pela fórmula:
A = b\,y + m\,y^2.
Expliquei: o termo b\,y vem do retângulo do fundo e m\,y^2 vem das duas partes triangulares (cada triângulo tem área \tfrac{m y^2}{2}, somando dois dá m y^2).

Passo 4

Montagem da equação para y. Igualando a área necessária ao A geométrico:
b\,y + m\,y^2 = A.
Como m=1, isto vira
y^2 + b\,y - A = 0.
Isto é uma equação quadrática na incógnita y. Para resolver uma quadrática ay^2+by+c=0 usamos a fórmula de Bhaskara:
y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Aplicando aqui (note que na equação a=1, o coeficiente linear é b do próprio canal e o termo independente é -A) obtemos a solução física (a raiz positiva):
y=\frac{-b+\sqrt{b^2+4A}}{2}.
Expliquei: escolhemos o sinal + dentro da raiz porque b^2+4A>0 e a raiz com o sinal + y>0; a outra raiz seria negativa e não tem significado físico para profundidade.

Passo 5

Substituindo o valor de A=\dfrac{80}{27} na fórmula geral:
y(b)=\frac{-b+\sqrt{b^2+\dfrac{320}{27}}}{2}.
Isto é a resposta geral: a profundidade y em função da largura do fundo b. Vou calcular dois exemplos numéricos (só para você ter ideia de ordem de grandeza):
Exemplo 1 — se b=1\\ \mathrm{m}:
b^2+\frac{320}{27}=1+\frac{320}{27}=\frac{347}{27}\approx 12{,}85185,
\sqrt{\frac{347}{27}}\approx 3{,}585532,
y=\frac{-1+3{,}585532}{2}\approx 1{,}29277\\ \mathrm{m}.
Exemplo 2 — se b=2\\ \mathrm{m}:
b^2+\frac{320}{27}=4+\frac{320}{27}=\frac{428}{27}\approx 15{,}85185,
\sqrt{\frac{428}{27}}\approx 3{,}982696,
y=\frac{-2+3{,}982696}{2}\approx 0{,}99135\\ \mathrm{m}.
Expliquei: quanto maior b, menor fica y para manter a mesma área A, o que está de acordo com a intuição (mais largura de fundo exige menos profundidade para a mesma área).

Passo 6

Resumo e conclusão prática: o procedimento para a prova é este — calcular A=Q/V, escrever A=b\,y+m\,y^2, substituir m e resolver a quadrática para y. Mas atenção: sem a largura do fundo b não existe um único valor numérico para y. Se na prova der b, basta usar a fórmula do Passo 5 e calcular a raiz positiva.

Resposta

Não é possível determinar numericamente y sem a largura do fundo b.
Profundidade em função de b:
y(b)=\frac{-b+\sqrt{b^2+\dfrac{320}{27}}}{2}.
Exemplos:
\text{se }b=1\\ \mathrm{m}\Rightarrow y\approx 1{,}29277\\ \mathrm{m},
\text{se }b=2\\ \mathrm{m}\Rightarrow y\approx 0{,}99135\\ \mathrm{m}.

Exercícios relacionados