Qual é a profundidade de escoamento num canal trapezoidal (
) que aduz uma vazão de
e com velocidade de escoamento de
?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a profundidade de escoamento
em um canal trapezoidal com talude lateral
, sabendo que a vazão é
(o enunciado escreveu
, mas interpreto como vazão volumétrica
) e a velocidade média é
.
Informações dadas:
Informações dadas:
Informação faltante e necessária: a largura do fundo do canal (chamarei de
). Sem
não é possível obter um único valor numérico para
. Vou, contudo, mostrar passo a passo como se resolve o problema em função de
e dar exemplos numéricos para valores típicos de
.
Passo 2
Relação básica entre vazão, velocidade e área molhada: a vazão volumétrica é a área da seção molhada vezes a velocidade média:
Portanto a área molhada requerida é
Calculemos
com os números fornecidos:
Expliquei: isto significa que a seção molhada do canal deve ter aproximadamente
para transportar a vazão dada àquela velocidade.
Passo 3
Geometria da seção trapezoidal (definições e montagem da área). Defina:
Para talude
significa que a cada
de altura há
de projeção horizontal em cada lado. A largura da superfície livre (topo) é
A área da seção (área do trapézio) pode ser vista como a soma do retângulo de base
e altura
mais dois triângulos, ou diretamente pela fórmula:
Expliquei: o termo
vem do retângulo do fundo e
vem das duas partes triangulares (cada triângulo tem área
, somando dois dá
).
Passo 4
Montagem da equação para
. Igualando a área necessária ao A geométrico:
Como
, isto vira
Isto é uma equação quadrática na incógnita
. Para resolver uma quadrática
usamos a fórmula de Bhaskara:
Aplicando aqui (note que na equação
, o coeficiente linear é
do próprio canal e o termo independente é
) obtemos a solução física (a raiz positiva):
Expliquei: escolhemos o sinal
dentro da raiz porque
e a raiz com o sinal
dá
; a outra raiz seria negativa e não tem significado físico para profundidade.
Passo 5
Substituindo o valor de
na fórmula geral:
Isto é a resposta geral: a profundidade
em função da largura do fundo
. Vou calcular dois exemplos numéricos (só para você ter ideia de ordem de grandeza):
Exemplo 1 — se
:
Exemplo 2 — se
:
Expliquei: quanto maior
, menor fica
para manter a mesma área
, o que está de acordo com a intuição (mais largura de fundo exige menos profundidade para a mesma área).
Passo 6
Resumo e conclusão prática: o procedimento para a prova é este — calcular
, escrever
, substituir
e resolver a quadrática para
. Mas atenção: sem a largura do fundo
não existe um único valor numérico para
. Se na prova der
, basta usar a fórmula do Passo 5 e calcular a raiz positiva.
Resposta
Não é possível determinar numericamente
sem a largura do fundo
.
Profundidade em função de :
Profundidade em função de
Exemplos: