8.3 Calcular a vazão e velocidade críticas para um canal trapezoidal com largura da base de 4,00 \mathrm{~m} e taludes 4(\mathrm{H}): 1(\mathrm{~V}), sabendo que \mathrm{y}_{\mathrm{c}}=2 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (sem resolver ainda):
  • Dados fornecidos:
    • largura da base: b=4{,}00\\ \mathrm{m};
    • taludes 4(\mathrm{H}):1(\mathrm{V}), ou seja, a razão horizontal/vertical é z=4;
    • profundidade crítica (profundidade no escoamento crítico): y_c=2{,}00\\ \mathrm{m}.
  • O que se pede:
    • calcular a vazão crítica Q_c (em \mathrm{m^3/s});
    • calcular a velocidade crítica V_c (em \mathrm{m/s}).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas e didáticas).
  • Em um escoamento aberto, a energia específica é
E = y + \frac{Q^2}{2gA^2},
onde:
  • E é a energia específica por unidade de peso (m);
  • y é a profundidade (m);
  • Q é a vazão (m^3/s);
  • g é a aceleração da gravidade ( \,9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}\,);
  • A é a área molhada da seção transversal (m^2).
  • A condição de escoamento crítico é obtida impondo que E seja mínimo em relação a y, ou seja \dfrac{dE}{dy}=0. Fazendo essa diferenciação para seção prismaticamente variável em y (com A dependente de y) chega-se à condição clássica
Q^2 = g\,\frac{A^3}{T},
onde:
  • T é a largura superficial (top width) da água na seção, que também vale T=\dfrac{dA}{dy}.
  • Portanto, para encontrar Q_c precisamos calcular A_c=A(y_c) e T_c=T(y_c) e aplicar
Q_c = \sqrt{g\,\dfrac{A_c^3}{T_c}}.
Depois a velocidade crítica é simplesmente
V_c=\dfrac{Q_c}{A_c}.

Passo 3

Fórmulas de geometria da seção trapezoidal e aplicação numérica para y_c.
  • Para um canal trapezoidal com base b e talude z (horizontal por vertical), a área molhada é
A = b\,y + z\,y^2.
Explicação rápida: é a soma da área do retângulo de base b e altura y mais duas meias-áreas triangulares que somam z y^2.
  • A largura superficial (top width) é
T = b + 2 z y,
pois cada lado acrescenta z y à largura superior.
  • Substituindo b=4{,}00\\ \mathrm{m}, z=4 e y_c=2{,}00\\ \mathrm{m}:
Calcular A_c:
A_c = b\,y_c + z\,y_c^2 = 4{,}00\cdot 2{,}00 + 4\cdot(2{,}00)^2.
Fazendo as contas:
A_c = 8{,}00 + 4\cdot 4{,}00 = 8{,}00 + 16{,}00 = 24{,}00\\ \mathrm{m^2}.
Calcular T_c:
T_c = b + 2 z y_c = 4{,}00 + 2\cdot 4 \cdot 2{,}00.
Fazendo as contas:
T_c = 4{,}00 + 16{,}00 = 20{,}00\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo da vazão crítica Q_c usando a fórmula crítica.
  • Fórmula:
Q_c = \sqrt{g\,\dfrac{A_c^3}{T_c}}.
  • Primeiro calcular A_c^3:
A_c^3 = (24{,}00)^3 = 24{,}00^2\cdot 24{,}00 = 576{,}00\cdot 24{,}00 = 13\,824{,}00\\ \mathrm{m^6}.
  • Calcular g\,A_c^3 com g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}:
g\,A_c^3 = 9{,}81 \cdot 13\,824{,}00 = 135\,613{,}44\\ \mathrm{m^6/s^2}.
  • Dividir por T_c:
\frac{g\,A_c^3}{T_c} = \frac{135\,613{,}44}{20{,}00} = 6\,780{,}672\\ \mathrm{m^6/s^2}.
  • Raiz quadrada para obter Q_c:
Q_c = \sqrt{6\,780{,}672} \approx 82{,}34\\ \mathrm{m^3/s}.
(Arredondei para duas casas decimais; procedimento mostrado permite cálculo à mão com aproximações sucessivas.)

Passo 5

Cálculo da velocidade crítica V_c.
  • Fórmula:
V_c = \frac{Q_c}{A_c}.
  • Substituindo valores:
V_c = \frac{82{,}34}{24{,}00} \approx 3{,}43\\ \mathrm{m/s}.
  • Checagem de unidades: Q_c em \mathrm{m^3/s} dividido por A_c em \mathrm{m^2} resulta em \mathrm{m/s}, ok.

Resposta

Q_c \approx 82{,}34\\ \mathrm{m^3/s}
V_c \approx 3{,}43\\ \mathrm{m/s}

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