O controle de tráfego numa rodovia fez o seguinte levantamento das velocidades (em quilômetros por hora), do número de veículos (entre parênteses) e do sentido do movimento (para leste, E, ou para oeste, W): 80 E (40), 85 E (59), 90 E (12), 100 E (2); 80 W (38), 85 W (59), 90 W (11), 100 W (2). Quais são (a) a velocidade média, (b) a raiz quadrada da velocidade média e © a velocidade média quadrática?

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um levantamento de velocidades (em km/h) de carros indo para o leste (E) e para o oeste (W), com o número de veículos em cada velocidade. O que a questão pede é:
a) velocidade média aritmética (o “típico” valor médio),
b) a raiz quadrada dessa média,
c) velocidade média quadrática (também chamada de RMS, do inglês root‐mean‐square).
Pra resolver, você vai precisar saber como calcular média com frequências e como calcular RMS.

Passo 2

Primeiro a gente junta tudo num único levantamento, porque a direção (E ou W) não muda o cálculo da média, só soma frequência.
Velocidades N = sumi fi = 78 + 118 + 23 + 4 = 223 : 80, 85, 90, 100 km/h
Frequências :
  • Para 80 km/h:
  • Para 85 km/h:
  • Para 90 km/h:
  • Para 100 km/h:
Total de veículos:

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da média aritmética com frequência:
bar v = sumi fi,visumi fi
Calcular numerador:
78cdot80 + 118cdot85 + 23cdot90 + 4cdot100 = 6240 + 10030 + 2070 + 400 = 18740
Logo
bar v = 18740223 approx 84,08 km/h

Passo 4

Agora a parte (b), que é só a raiz quadrada dessa média:
raizbar v = raiz84,08 approx 9,17

Passo 5

Pra média quadrática (RMS) a fórmula é:
vrm RMS = raizsumi fi,vi^2sumi fi
Primeiro computa vrm RMS = raiz1,578,050223 = raiz7076,46 approx 84,12 km/h :
80²·78 = 6400·78 = 499200
85²·118= 7225·118= 852550
90²·23 = 8100·23 = 186300
100²·4 =10000·4 = 40000
Somando:
Calma, vou juntar:
499200+852550=1 351 750
+186300=1 538 050
+40000=1 578 050
Então

Resposta

a) Velocidade média aritmética:
b) Raiz quadrada da média:
c) Velocidade média quadrática (RMS):

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