Calcular a velocidade do som no ar a
(b) 20^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a velocidade do som no ar à temperatura de 20^\circ\mathrm{C}.
Informações dadas (explicitadas):
  • Temperatura: 20^\circ\mathrm{C}.
  • Queremos a velocidade do som no ar (assumir ar seco, comportamento de gás ideal à pressão atmosférica normal).

Passo 2

Qual fórmula usar? Vou explicar passo a passo a fórmula física necessária (a parte didática que te ajuda na prova). Para pequenas perturbações em um gás ideal, a velocidade de propagação de ondas sonoras é dada por
v = \sqrt{\gamma\frac{p}{\rho}},
onde:
  • v é a velocidade do som (em \mathrm{m/s}),
  • \gamma é a razão entre capacidades térmicas (capacidades adiabática e isocórica), também chamada de razão dos calores específicos ( \gamma = C_p/C_v),
  • p é a pressão absoluta do gás (em \mathrm{Pa}),
  • \rho é a densidade do gás (em \mathrm{kg/m^3}).
Agora uso a equação de estado do gás ideal para eliminar \frac{p}{\rho}. Para um gás ideal:
p = \rho R_{\text{espec}},
onde R_{\text{espec}} é a constante dos gases específica do ar (em \mathrm{J/(kg\cdot K)}). Substituindo em v obtemos a forma muito usada:
v = \sqrt{\gamma R_{\text{espec}} T},
onde T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}). Essa é a fórmula que usaremos na prática na prova.

Passo 3

Definir os parâmetros numéricos e convertê-los:
  • Para o ar seco podemos usar \gamma = 1{,}40 (ar é aproximadamente um gás diatômico).
  • A constante universal dos gases é R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}. A massa molar média do ar é aproximadamente M = 0{,}0289645\\ \mathrm{kg/mol}. A constante específica do ar é
R_{\text{espec}}=\frac{R}{M}.
  • Converter a temperatura: 20^\circ\mathrm{C} = 20 + 273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm{K}. Vou usar \,T = 293{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular R_{\text{espec}}. Fazendo a divisão:
R_{\text{espec}}=\frac{8{,}314462618}{0{,}0289645}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Aproximando passo a passo:
R_{\text{espec}}\approx 287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
(Esse valor é o número clássico que aparece nas tabelas: R_{\text{espec}}\approx 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.)

Passo 5

Agora calculo o produto \gamma R_{\text{espec}} T:
\gamma R_{\text{espec}} = 1{,}40 \times 287{,}05 \approx 401{,}87\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Multiplicando por T:
\gamma R_{\text{espec}} T \approx 401{,}87 \times 293{,}15 \approx 117\,808{,}7\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
Agora a velocidade é a raiz quadrada desse número:
v = \sqrt{117\,808{,}7}\\ \mathrm{m/s} \approx 343{,}46\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida sem cálculo longo: existe uma fórmula aproximada muito usada em provas e cálculos rápidos:
v \approx 331\\ \mathrm{m/s} + 0{,}6\\ \mathrm{m/s\\ per\\ ^\circ C}\times T_{^\circ\mathrm{C}}.
Aplicando para T_{^\circ\mathrm{C}}=20:
v \approx 331 + 0{,}6\times 20 = 331 + 12 = 343\\ \mathrm{m/s},
o que está bem próximo do cálculo mais exato anterior ( 343{,}46\\ \mathrm{m/s}). Isso é bom para conferência rápida na prova.

Resposta

343{,}5\\ \mathrm{m/s}

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