Funções de onda aceitáveis devem satisfazer qual dos seguintes requisitos?
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O comentário para a turma
Sua resposta
Atribuida
a.Valor único
b.Finito
c.Contínuo
d.Todas as opções
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Passo 1
O enunciado pergunta: “Funções de onda aceitáveis devem satisfazer qual dos seguintes requisitos?” e apresenta as alternativas:
a. Valor único
b. Finito
c. Contínuo
d. Todas as opções
a. Valor único
b. Finito
c. Contínuo
d. Todas as opções
O que se pede: escolher qual (entre a, b, c, d) é a condição correta para uma função de onda aceitável.
Passo 2
O que é uma função de onda e o que dela esperamos (aula rápida e calma).
Uma função de onda é uma quantidade complexa cuja interpretação física é dada pela densidade de probabilidade
Uma função de onda
que representa a probabilidade de encontrar a partícula próxima de
no instante
. Para isso fazer sentido, exigimos que a função de onda seja normalizável, isto é,
onde
é a coordenada espacial. Essa condição já dá uma ideia de restrições (por exemplo, não pode divergir de forma que o integral não exista). Agora vamos analisar cada alternativa com calma.
Passo 3
Sobre “a. Valor único” (single-valued) — por que é necessário:
A densidade de probabilidade deve ser um único número para cada ponto
. Se
tivesse mais de um valor em um mesmo ponto
,
seria ambíguo e a probabilidade não estaria bem definida. Portanto, exigimos que
seja uma função de valor único em cada ponto do espaço — isto é, ao aproximarmo-nos de um ponto por qualquer direção obtemos o mesmo valor de
.
Exemplo simples: numa linha reta não faz sentido ter e também
com
.
A densidade de probabilidade
Exemplo simples: numa linha reta não faz sentido ter
Passo 4
Sobre “b. Finito” — por que é necessário:
Para a normalização ser finita (e igual a
), o integrando
não pode divergir de forma que torne o integral infinito. Se
fosse infinito em algum ponto (por exemplo
com
grande o suficiente), a integral poderia divergir e a função não seria normalizável, logo não teria interpretação probabilística. Portanto
deve ser finita em todos os pontos (ou, mais precisamente, deve ser finita quase todo lugar e tal que
seja integrável).
Pequeno lembrete prático: “finito” aqui significa que não há singularidades que tornem não integrável.
Para a normalização
Pequeno lembrete prático: “finito” aqui significa que não há singularidades que tornem
Passo 5
Sobre “c. Contínuo” — por que é necessário:
A equação que governa (a equação de Schrödinger independente do tempo, por exemplo) contém derivadas espaciais de
. Escrevendo em uma dimensão:
A equação que governa
onde
é a constante de Planck reduzida,
a massa,
o potencial e
a energia. Para que essa equação faça sentido na forma usual (quando
é finito), precisamos que a segunda derivada de
exista em sentido adequado — se
fosse descontínua, a segunda derivada teria singularidades muito fortes (como deltas) que normalmente levam a energias cinéticas infinitas e interpretação física ruim. Portanto, para potenciais finitos exige-se que
seja contínua.
Observação didática: a derivada primeira de pode ser descontínua em pontos onde
tem descontinuidades (ex.: salto finito em
), mas a própria
permanece contínua. Em casos de potenciais com delta de Dirac, a derivada sofre salto controlado; mesmo aí
continua contínua. Em resumo: a continuidade de
é exigida na maior parte dos problemas físicos padrão.
Observação didática: a derivada primeira de
Passo 6
Resumo lógico e conclusão (juntando tudo):
- Se
não for valor-único, a probabilidade é ambígua → inaceitável. - Se
não for finita (ou não for integrável), não é possível normalizá-la → inaceitável. - Se
não for contínua (quando o potencial é finito), a equação de Schrödinger leva a problemas físicos (energia cinética infinita ou equação não satisfeita) → inaceitável.
Portanto todas as três propriedades (valor único, finito, contínuo) são exigidas para que uma função de onda seja fisicamente aceitável nos contextos usuais de mecânica quântica.
Resposta
d. Todas as opções